4)Экстремумы функции.

Определение 5: Точку х = х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x)> f(x₀)

Определение 6: Точку х = х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x) < f(x₀).

Определение 7: Точку минимума или максимума функции называют точкой экстремума. Значение функции в этой точке называют экстремальным.

Y

Y_max

y = f(x)

x

0 x_min

x_max

Y_min

Замечания:

1. Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением функции;

2. Функция может иметь несколько максимумов или минимумо;

3. Функция, определённая на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.

Необходимое условие экстремума: Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х = х₀, то в этой точке производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками 1 рода.

Достаточные условия существования экстремума функции: Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри этого промежуткак ритическую точку 1 рода х = х₀, то:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х₀ f’(x) < 0, а при x> x₀ f’(x) > 0, то х = х₀ является точкой минимума функции y = f(x);

- + f’(x)

x = x₀ f(x)

min

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х₀ f’(x) > 0, а при x> x₀

f’(x) < 0, то х = х₀ является точкой максимума функции y = f(x);

+ - f’(x)

x = x₀ f(x)

max

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и справа и слева от точки х₀ знаки производной одинаковы, то в точке х₀ экстремума нет.

Промежутки убывания или возрастания функции называются промежутками монотонности.

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.

Определение 8. Кривая у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке а < х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется выпуклой вверх на промежутке а < х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 9. Промежутки, в которых график функции обращён выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Y

Y = f(x)

0 X

Достаточное условие выпуклости кривой. График дифференцируемой функции Y = f(x) является выпуклым вверх на промежутке а < х <в, если f”(x) < 0 и выпуклым вниз, если f”(x) > 0.

Определение 9. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II рода.

Определение 10. Точка графика функции Y = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположенных направлений этого графика, называется точкой перегиб.

+ - f”(x)

х = х₀ f(x)

точка перегиба

Пример 16: Дана функция у = х³ – 2х² + 6х – 4.Исследовать функцию на промежутки монотонности и точки экстремума. Определить направление выпуклости и точки перегиба.

Решение: 1. Найдем область определения функции: D(y) = ;

2. Найдем первую производную: y’ = 3x² – 4x + 6;

3. Решим уравнение: y’ = 0, 3x² – 4x + 6 = 0, D 0, то данное уравнение не имеет решения, следовательно точек экстремуму нет. y’ , то функция возрастает на всей области определения.

4. Найдем вторую производную:y” = 6x – 4;

5. Решим уравнение: y” = 0, 6x – 4 = 0, х =

- + y”(x)

y(x)

У( ) = -

Ответ: ( ; - ) – точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вверх при х

Асимптоты.

Определение 11.:Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график данной функции.

Виды асимптот:

1) Вертикальные асимптоты. График функции y = f(x) имеет вертикальную асимптоту, если . Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а

2) Горизонтальные асимптоты. График функции y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту, если . Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b.

Пример 17: Для функция y = найдите асимптоты.

3) Наклонные асимптолты. Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если . Значения k и b вычисляются по формулам: k = ; b = .

Решение: , то y = 0 – горизонтальная асимптота;

(т. к. х – 3 ≠ 0, х ≠3), то х = 3 – вертикальная асимптота. ,т. е. k = 0, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Пример 18: Для функции y = найдите асимптоты.

Решение: x² – 25 ≠ 0 при x ≠ ± 5, то х = 5 и х = - 5 являются горизонтальными асимптотами;

y = , то кривая не имеет вертикальной асимптоты;

k = ; b = , т. е. y = 5x – наклонная асимптота.

Примеры построения графиков функций.

Пример 19.

Исследовать функцию и построить график функции у = х³ – 6х² + 9х – 3

1.Найдём область определения функции: D(y) = R

2.Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной:

у( - х) = ( - х)³ - 6·(- х)² + 9·(-х) – 3 = - х³ – 6х² – 9х – 3 = - (х³ + 6х² + 9х + 3), т. е.

у( - х) ≠ у(х) – не является чётной и у( - х) ≠ - у(х) – не является нечётной

( у = х⁵ – х³ – нечетная, у = х⁴ + х² – четная)

3.Не является периодической.

4.Найдем точки пересечения с осями координат: если х = 0, то у = - 3 (0; - 3)

если У = 0, х найти затруднительно.

5.Найдем асимптоты графика функции: Вертикальных асимптот нет, т.к. нет значений х, при которых функция неопределенна; у = , т. е. горизонтальных асимптот нет;

k = , т . е. наклонных асимптот нет.

6.Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = 3x² – 12x + 9, y’= 0, 3x² – 12x + 9 = 0 x₁ = 1; x₂ = 3 – критические точки 1 рода.

+ - + y’(x)

x

1 3 y(x)

max min

y_max = y(1) = 1, (1;1) – точка максимума; y_min = y(3) = - 3, (3; - 3) – точка минимума, функция у↑ при х и у .

7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба: y” = (y’)’ = (3x² – 12x + 9)’ = 6x – 12, y” = 0, 6x – 12 = 0 x = 2

- + y”(x)

x

2 y(x)

Y(2) = - 1 (2; - 1) – точка перегиба, функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при х .

8.Дополнительные точки:

х	- 1	4
у	- 19	1

9. Построим график функции:

У

1

0 1 2 3 4 Х

- 3

- 19

Пример 20.

Исследовать функцию и построить график функции у =

1. Найдём область определения функции: 1 – х ≠ 0, х ≠ 1, D(y) = .

2.Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: ,

у( - х) ≠ у(х) – не является чётной и у( - х) ≠ - у(х) – не является нечётной

3.Не является периодической.

4.Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0, то у = - 2; у = 0, , то , т. е. (0; - 2); ( ).

5.Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 1,то прямая х = 1 – вертикальная асимптота;

у = , т. е. у = - 3 - горизонтальная асимптота;

k = , т . е. наклонных асимптот нет.

6.Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы: y’ = = , y’ ≠ 0, т. е. критических точек 1 рода нет, но у’ > 0, то функция возрастает на всей области определения.

7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба:

y” = (y’)’ = ( , x ≠ 1

+ - f” (x)

x

1 f(x)

т. к. х = 1 D(y) , то не является точкой перегибах х = 1 – точка разрыва, функция выпукла вниз при х и выпукла вверх при х

8. Дополнительные точки:

х	- 1	2	3
у	- 2,5	- 4	- 3,5

9 .Построим график функции:

У

Х = 1

- 1 0 1 2 3 Х

- 2

У = -3

- 3

- 4

Пример 21:

Исследовать функцию и построить график функции у =

1. Найдём область определения функции: х ≠ 0, D (y) = ( - ∞; 0) U (0; + ∞)

2. Выясним, является ли данная функция чётной или нечетной: y( - x) = - , y(x) = - y(x) – то функция нечётная и график симметричен относительно начала координат.

3. Не является периодической.

4. Найдем точки пересечения с осями координат: х ≠ 0, то у ≠ 0, график не пересекает ось оУ; 3х²+ 1 = 0, х² = - - нет решения, то график не пересекает ось оХ

5. Найдем асимптоты графика функции: т.к. х ≠ 0,то прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

у = , т. е. горизонтальных асимптот нет;

k = , т . е.y = 3x - наклонная асимптота .

6. Исследуем функцию на промежутки монотонности и её экстремумы:

y’ = , y’ = 0,

= 0, 3x² – 1 = 0, x = ± = - критические точки 1 рода.

+ - + y’(x)

X

Y(x)

max min

y( - ) = y( ) = 2

( ) – точка минимума; ( ) – точка максимума; У ↑ при Х ; y

7.Исследуем функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба: y” = (y’)’ = ; x ≠ 0;

• + y”(x)

• X

0 Y(x)

т. к. х = 0 D(y) , то не является точкой перегиба ,х = 0- точка разрыва; функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при

х

Дополнительные точки:

х	- 1	- 0,5	- 0,1	0,1	0,5	1
у	- 4	- 3,5	- 10,3	4	3,5	4

8 .Построим график функции: У

У = 3х

4

3

2

1

0 Х

- 1 - 0,5 - 0,1 0,1 0,5 1

Упражнения для самопроверки

1. Найдите производные функций: а) ; б) ;

2. Найдите вторую производную функции: а) ; б) ; в) .

3. Составьте уравнение касательной к кривой в начале координат.

4. При каком значении переменной x касательные к кривым и параллельны?

5. Тело движется прямолинейно по закону ( - в метрах, - в секундах). Найдите скорость движения в тот момент времени, когда ускорение равно нулю.

6. Найдите экстремумы функции .

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

8. Кусок проволоки длиной в 84 см требуется согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь этого прямоугольника была наибольшей.

9. Число 16 разложите на два таких положительных множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

10. Определите направление вогнутости и точки перегиба кривой .

Ответы. 1 а) ; б) ;2. а) ; б) ; в) . 3. . 4. 0; . 5. м/с. 6. , . 7. , . 8. Квадрат со стороной 21 см. 9. 4 и 4. 10. На интервале кривая выпукла, на интервале - вогнута, точка перегиба (1, 2).