Модуль №5 «Линейная и квадратичная функции. Многочлены. Дробно-рациональная функция.» (семестровый зачет, алгебра)
Линейная функция, доказать ее свойства и построить график. Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вывести формулу для тангенса угла между прямыми.
Модуль числа, его свойства. Доказать неравенства о модуле суммы и разности.
Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата. Дискриминант. Вывести формулу для корней квадратного уравнения. Доказать теорему о разложении квадратного трёхчлена на линейные множители. Доказать прямую и обратную теоремы Виета.
Квадратичная функция, доказать ее свойства и построить график.
Доказать необходимое и достаточное условие того, что оба корня квадратного трехчлена меньше данного числа; что данное число располагается между корнями квадратного трёхчлена. Следствия для отрезка.
Доказать необходимое и достаточное условие того, что оба корня квадратного трехчлена больше данного числа. Следствия для отрезка.
Многочлены. Сложение, умножение, деление многочленов нацело. Сформулировать теорему о делении многочленов с остатком. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Многочлены. Доказать схему Горнера.
Корень многочлена. Доказать теорему Безу и ее следствия.
Простой и кратный корень многочлена. Доказать теорему о целых корнях многочлена с целыми коэффициентами.
Доказать теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.
Сформулировать основную теорему алгебры. Сформулировать обобщенную теорему Виета для многочлена n-й степени. Привести примеры.
Дробно-рациональная функция. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.
ВОПРОСЫ К МОДУЛЯМ (2 семестр)
Модуль №6 «Степенная, показательная и логарифмическая функции» (19 неделя, матан)
Степень с целым показателем, сформулировать и доказать свойства.
Сформулировать свойства степени с целым показателем. Степенная функция, свойства и графики для натуральных и целых отрицательных показателей.
Арифметический и алгебраический корень n-ой степени, свойства. Функция
,
свойства, график.Доказать свойства степени с рациональным показателем. График степенной функции с рациональным показателем.
Показательная функция, доказать свойства и построить график, связь с логарифмической функцией.
Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Теоремы о логарифме произведения, степени, частного.
Теорема о логарифме числа по основанию
.
Теорема о переходе к логарифму с новым
основанием.Логарифмическая функция, доказать свойства и построить график, связь с показательной функцией.
Модуль №7 «Обратные тригонометрические функции» (21 неделя, алгебра)
Функции y=arcsin x, y=arccos, доказать свойства и построить графики.
Функции y=arctg x, y=arcctg x, доказать свойства и построить графики.
Вывести формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
Модуль №8 «Последовательности» (23 неделя, матан)
Предел числовой последовательности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
Бесконечно малая последовательность. Теорема о последовательности, ее пределе и бесконечно малой. Теорема о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную.
Арифметические теоремы о пределах последовательностей (предел суммы, произведения, частного сходящихся последовательностей).
Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи бесконечно больших последовательностей с бесконечно малыми.
Теорема о предельном переходе в неравенстве для последовательностей. Теорема о «зажатой» последовательности.
Возрастающая (убывающая), ограниченная сверху (снизу) последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности (без доказательства). Число e как предел числовой последовательности.
Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов, характеристическое свойство.
Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов, характеристическое свойство. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, доказать формулу для ее суммы.