2. Определение производной. Геометрический и физический смысл.

Пусть функция у = f(x) определена на множестве D. Возьмем некоторое значение х  D аргумента и придадим ему приращение х (положительное или отрицательное) так, чтобы х + х D. Тогда значение функции у = f(x) в начальной точке изменится и станет равным у + у = f(х + х), т.е. функция получит приращение у = f(х + х) – f(x) (рис.).

Определение 4.1. Предел отношения приращения у функции у = f(x) к вызвавшему его приращению х аргумента при стремлении х к нулю называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается f (x).

Таким образом,

. (1)

Наряду с обозначением f (x), используется обозначения

у, у_х, , , .

Равенство (1) определяет правило (закон) по которому каждому значению хD ставится в соответствие конечное или бесконечное значение производной, т.е. производная есть функция переменной х.

Используя определение производной, можно теперь сказать, что скорость движущейся точки в каждый момент времени есть производная от пути по времени. Если эту физическую иллюстрацию обобщить на случай произвольной функции, рассматривая изменение функции как пройденный путь, а изменение аргумента как время, то получим

Физический смысл производной: производная функции есть скорость изменения функции при изменении ее аргумента.

Аналогично, используя результаты задачи о касательной, получим

Геометрический смысл производной: производная функции у = f(x) в точке х есть тангенс угла наклона к оси ОХ касательной, проведенной к графику функции в точке (х, f(x)).

Теорема 4.1.(необходимое условие существования производной)

Если функция у = f(x) имеет в точке х₀ производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: Если для функции у = f(x) в точке х₀ существует производная, то существует предел

Если этот предел конечный, то по теореме 2.4 имеем

,

где (х) есть бесконечно малая при х  0. Отсюда получаем

у = f (x₀)x + (x)x.

Рассмотрим

= 0,

а это, согласно второму определению непрерывности функции в точке, означает, что функция у = f(x) непрерывна в точке х₀.

Предположим теперь, что = +  (или –), причем это возможно тогда и только тогда, когда односторонние пределы бесконечны и одинакового знака. Пусть, для определенности,

Тогда и .

Но это означает, что числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый знак. В первом случае f(х₀ + х) – f(x₀) > 0, т.к.х  +0, т.е. х > 0. Во втором случае f(х₀ + х) – f(x₀) < 0 при х < 0. А такое возможно только если

f(х₀ + х)  f(x₀) при х  х₀,

т.е. функция у = f(x) непрерывна в точке х₀. ЧТД.

С лучай бесконечной производной графически можно представить так:

Таким образом, в каждой точке, в которой существует производная функции, эта функция обязательно непрерывна. Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции в точке не следует существование в этой точке конечной производной. Продемонстрируем это на примере.

Рассмотрим функцию

Эта функция непрерывна в точке х₀ = 1, т.к.

f(1) = 1,

f(1+0) = = 1,

f(1– 0) = = 1.

Но в этой точке не существует производная функции. Действительно, если х = х – 1> 0, то

.

Если же х = х – 1< 0, то

Значит, , а это, согласно критерию существования предела означает, что не существует.

Заметим, что в этом случае можно говорить о существовании односторонних производных:

f (x₀+0) = и f (x₀ –0) = .

Тогда существование производной функции f(x) в точке x₀ равносильно существованию f (x₀+0), f (x₀ –0) и выполнению условия f (x₀+0) = f (x₀ –0).

В рассмотренном примере f (1+0) = 2, f (1 –0) = 1.