Производные высших порядков

Пусть функция у = f(x) имеет в каждой точке множества D производную f (х). Как уже отмечалось ранее, производная f (х) сама является функцией переменной х и, в свою очередь, может иметь производную на некотором множестве. Тогда (f (х)) называется производной второго порядка от функции у = f(x) (или второй производной) и обозначается у. Таким образом

у = (f (х)).

Используются также следующие обозначения второй производной функции у = f(x): f (х), , . Функцию у = f(x) при этом называют дважды дифференцируемой.

Аналогично, если функция имеет производную, то эта производная называется производной третьего порядка от функции у = f(x) и обозначается у, или f (х), или , или ; у = f(x) при этом трижды дифференцируемая.

В общем случае, имеем

Определение 4.3.

п-ой производной (производной п-го порядка) функции у = f(x) называется производная от п–1- й производной этой функции:

f ^(п)(х) = (f ^(п–1)(х)).

Обозначается , , .Число п называют порядком производной.

Порядок производной можно указывать либо в скобках арабскими цифрами, либо римскими цифрами без скобок: у⁽⁵⁾ = у^V.

Производные у, у, у^IV,… называют производными высших порядков. Принято считать, что у⁽⁰⁾ = у – сама функция.

Производные функций, заданных неявно и параметрически.

Пусть функции х = (t) и у = (t) определены и дифференцируемы на некотором множестве Т и пусть (t) имеет дифференцируемую обратную функцию t = ^–1(x) . Тогда функция у = (^–1(x)) есть сложная функция, которая может быть задана параметрически , t Т. Найдем производную этой функции. Используя правила дифференцирования сложной и обратной функций, имеем

у_х = ((^–1(x))) = ,

т.е. производная функции равна

. (2)

Например, для функции , используя формулу (2), получим

Если же записать функцию у как функцию от х:  у = х⁶, то получим у = 6х⁵ = – тот же результат.

Найдем вторую производную функции , предполагая, что она существует. Первую производную у_х этой функции можно задать параметрически уравнениями . Применяя к этой функции правило (2), находим

.

Аналогично можно найти третью производную

, и т.д.

Рассмотрим неявно заданную функцию у переменной х: F(x, y) = 0

Правило дифференцирования неявной функции таково:

1. Продифференцировать обе части равенства F(x, y) = 0 по х, пользуясь основными правилами и формулами дифференцирования, но помня при этом, что у есть функция от х: у = у(х) с неизвестной производной (т.е. везде, где происходит дифференцирование у, обязательно умножать на у как при дифференцировании сложной функции).

2. Из полученного равенства выразить у через х и у.

Пример: Найдем производную функции у, заданной неявно уравнением

х² + 3ху + у³ = 5.

Действуем по изложенному правилу:

(х² + 3ху + у³) = (5), 2х + 3(ху + ху) + 3у²у = 0,

2х + 3у + 3ху + 3у²у = 0, 3ху + 3у²у = –2х – 3у,

.

Заметим, что производная неявной функции обычно также есть функция неявная.