Изучение колебательного движения с помощью математического маятника
Цель работы
Изучение основных закономерностей колебательного движения математического маятника.
Идея эксперимента
В эксперименте исследуется колебательное движение груза, подвешенного на длинной нити. Соотношение его элементов таково, что этот физический маятник с достаточной степенью точности может считаться моделью математического маятника.
Т
еория
Маятник – тело, совершающее колебательное движение под действием квазиупругой
силы. Простейший маятник – массивный груз на подвесе. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О. Такой маятник называется математическим.
На
маятник действуют силы: натяжения нити
и
тяжести
,
которые в положении равновесия
компенсируют друг друга
.
Для возбуждения колебаний маятник
выводят из положения равновесия (рис.16).
Теперь
и маятник обладает избыточной потенциальной
энергией mgh
по отношению к положению равновесия.
Эта энергия обуславливает колебание,
происходящее по окружности и описываемое
основным уравнением динамики вращательного
движения
,
(8.1)
где
-
результирующий вращающий момент,
-
угловое
ускорение,
J = ml2
– момент
инерции шарика относительно оси ОО¢,
проходящей через точку подвеса О,
перпендикулярно плоскости колебаний
(плоскости чертежа). Результирующий
момент силы натяжения нити и силы тяжести
равен
.
(8.2)
Тогда
.
(8.3)
Угол
-
вектор, направленный от читателя вглубь,
так как отсчет угла ведется по часовой
стрелке. Векторы
направлены по оси вращения.
Спроецируем выражение (8.3) на ось ОО¢. Примем за положительное направление оси направление вектора . Тогда
,
(8.4)
где
-
радиус-вектор точки, модуль которого
равен длине подвеса
.
Очевидно,
что угол
,
а угол
.
Тогда
.
(8.5)
Или, так как
.
(8.6)
Для достаточно малых углов sinj»j, тогда
, (8.7)
где
.
Решение уравнения (8.7) представляет собой гармоническую функцию, соответствующую гармоническому колебанию
,
(8.8)
где j0 – амплитуда, w0 – частота так называемых собственных колебаний, a0 – начальная фаза.
Мы видим, что w0 оказывается циклической частотой этого колебания с периодом
.
(8.9)
Решение уравнения (8.6) сложнее и представляет собой колебание с непрерывно изменяющейся частотой, которой соответствует период
.
(8.10)
