4. Оценка точности косвенных измерений

Большинство физических величин обычно невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа. Сначала измеряют одну или более величин x,...,z, которые могут быть непосредственно измерены и, с помощью которых можно вычислить интересующую нас величину. Затем, используя измеренные значения x,..., z, вычисляют саму искомую величину. Если измерение включает эти два этапа, то и оценка погрешностей тоже включает их. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно, а затем определить, к какой погрешности они приводят в конечном результате. При этом, конечно, необходимо учитывать вид функциональной связи между величинами.

Погрешность функции q=f(x,...,z) нескольких переменных x,...,z, измеренных с погрешностями Dx,...,Dz ... в случае, если погрешности независимы и случайны, определяется по формуле:

. (10)

Вычисления погрешности с помощью формулы (9) обычно оказываются достаточно громоздкими. Поэтому лучше производить поэтапное вычисление, используя некоторые правила, два из которых являются наиболее употребляемыми:

1. Абсолютная погрешность суммы и разности равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей

. (11)

2. Относительная погрешность комбинации произведения и частного равна квадратичной сумме относительных погрешностей

,

. (12)

Правила вычисления погрешностей для некоторых других функций приведены в Приложении 1.

Рассмотрим последовательность действий при вычислении погрешности косвенного измерения на примере формулы

.

Сначала найдем абсолютную и относительную погрешность суммы w=m+M:

.

Затем найдем относительную и абсолютную погрешности величины v:

.

Анализ полученной окончательной формулы позволяет установить:

а) Погрешности каких именно величин вносят наибольший вклад в общую погрешность. Точному измерению этих величин необходимо уделить наибольшее внимание.

б) Погрешности каких величин практически не влияют на окончательный результат и их можно даже отбросить.

Будем в дальнейшем не принимать в расчет погрешности постоянных (g, e, p ...) и табличных величин, измеренных с большой точностью. Например, погрешность приближенного числа p»3,14 составляет всего 0,05 %.

5. Линеаризация функции и метод наименьших квадратов

В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости, Например, исследуется зависимость перемещения S равноускоренного движения от времени движения. Теоретическая зависимость имеет вид

, (13)

где а – ускорение грузов.

Если по экспериментальным точкам построить график зависимости S от t, представляющий собой восходящую кривую, то по виду графика нельзя утверждать, что это парабола и именно та парабола второго прядка, которая соответствует проверяемой закономерности, т. к. похожие графики могут иметь другие закономерности. Единственным графиком, по внешнему виду которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия. Для того, чтобы воспользоваться этим свойством

в проверяемой закономерности необходимо выявить в ней такие новые переменные, зависимость между которыми была бы линейной. В нашем случае такими переменными являются S и t². Следовательно, для проверки справедливости соотношения (13) имеет смысл строить график экспериментальной зависимости S от t². На систему координат S, t² (рис. 2) следует нанести экспериментальные точки, а также вправо и влево от них отложить отрезки, длина которых равна погрешностям измерения t² (доверительным интервалам). Если через начало координат и доверительные интервалы можно провести прямую линию, т. е. экспериментальная зависимость S = f(t²) является линейной, значит соотношение (13) подтверждено экспериментально.

Используя график линеаризованной зависимости, можно определить некоторые параметры изучаемого явления из следующих соображений. Уравнение прямой можно записать в виде

y = kx +b. (14)

Угловой коэффициент k:

, (15)

где Dx – произвольный отрезок на оси 0Х - приращение аргумента, Dy – соответствующее приращение функции. Величина b может быть определена как величина отрезка, отсекаемого графиком на оси 0Y. В нашем случае знание коэффициента k позволяет определить ускорение движения: a = 2k.

При нахождении величин k и b из графика к погрешностям измерения добавляется погрешность построения графика. Существует точный метод нахождения величин k и b – метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод позволяет провести прямую так, что сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от графика минимальна. Формулы для определения величин k и b имеют вид:

, . (16)

Зная k и b и задавшись какими-либо значениями x₁ и x₂, можно по формуле (14) вычислить y₁ и y₂. Затем через две точки с координатами (x₁,y₁) и (x₂,y₂) проводится искомая линия.

Теория позволяет также найти погрешности коэффициентов k и b. Сначала вычисляют величины:

, . (17)

Затем вычисляют коэффициент линейной корреляции:

. (18)

Это число принимает значения между -1 и +1. Если r близко к ±1, то точки лежат вблизи некоторой прямой линии; если r близко к 0, то точки не коррелированны и либо незначительно, либо совсем не группируются около прямой линии.

Вычисление абсолютных погрешностей коэффициентов k и b выполняется по формулам:

, . (19)