Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией .

Перечислим основные свойства функции

Область определения – любое действительное число: .

Область значений – любое действительное число: .

Функция  является нечётной. , значит, функция  является нечетной.

Ф ункция  не ограничена. На языке пределов функции это можно записать так: , Кубическую параболу тоже эффективнее строить с помощью алгоритма «челнока»:

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении  уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

Анализ тригонометрической функции:

1. D(y)=R

2. y=sin x – нечётная

3. y=sinx возрастает на [0;П/2], убывает на [П/2;П]

4. ограничена снизу и сверху

5. у_наим=-1, у_наиб=1

По этим свойствам строим график, таблично на [0;П], используя свойство симметричности на остальном графике.

После построения: непрерывность

В таком же порядке рассматриваем функцию y=cosx.

sin(x-2П)=sinx=sin(x+2П)

cos(x+2П)=sinx=sin(x-2П), 2П – период функцийy=sinx,y=cosx. Периодом является любое число видаkT, гдеk=±1;±2;±3…

T– наименьший положительный период, нахождение Т по определению.

Пример: Найти период функцииy=sin3x.

Решение: Пусть Т – основной период

f(x)=f(x+T)

f(x)=sin(x)

f(x+T)=sin 3(x+T)=sin (3x+3T)

sin3x=sin(3x+3T)→3T=2Пn, т.к. нужен основной периодn=1

3T=2П, Т=2П/3

Основной период функции y=sinkx(y=coskx) равен 2П/k.

После изучения функций y=sinx,y=cosxзнакомятся с преобразованием графиков функцииy=f(x),y=mf(x),y=f(kx).

Методическая схема (технологическая цепочка) изучения числовых функций включает в себя следующие пять этапов [Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия : учеб.-метод. пособие / В. П. Покровский] [НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ]:

1. Рассмотреть две-три текстовые задачи, решение которых приводит к функции определенного вида (мотивация введения нового вида функции). На этом этапе учащихся необходимо убедить в целесообразности изучения нового вида функции, исходя из практических соображений или развития теории. Решая задачу, учащиеся приходят к формуле, задающей функцию.

2. Сформулировать определение функции через формулу, с помощью которой она задается, установить смысл и границы допустимых значений параметров, входящих в эту формулу, привести при-меры частных случаев данной функции, вести специальное название для этого вида. На этом этапе учащиеся должны получить четкое представление о функции, о ее характерных признаках, выделяющих данную функцию из множества других, научиться распознавать ее по аналитическому выражению.

3. Построить график функции. На этом этапе учащиеся учатся строить графики конкретных частных случаев функции (при различных значениях параметров) «по точкам», составляя таблицу нескольких ее значений; выясняют влияние параметров на особенность расположения графика функции в системе координат; получают представление о графике функций в общем виде; строят графики по характеристическим точкам (если это возможно) и учатся отличать их от графиков функций других видов, распознавать по графическому изображению.

4. Провести исследование функции на основные свойства (или отсутствие каких-либо) с привлечением графика и формулы (в 7 ‒ 9-х классах преимущественно по графику; в 10 ‒ 11-х классах‒ с помощью формулы).

5. Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции данного вида. Этот этап служит закреплению основных понятий и теоретических фактов, связанных с изучаемым видом функций, формированию соответствующих умений и навыков.

Историческая справка (ЛУЧШЕ НЕ ГОВОРИТЬ, но вдруг спросят): Понятие функции прошло долгий путь развития и имеет свою историю. Хотя идея функциональной зависимости величин относится к глубокой древности, потребность в общем понятии функции воз-никла лишь в XVII в. в связи с возникновением идеи переменных, с которой в математику вошло движение, изменение, процессы, наблюдаемые во времени. Первоначальная трактовка была либо геометрической, либо механической: ординаты точек совершенно произвольных кривых – функции от абсцисс, путь и скорость – функции от времени (П. Ферма, Р. Декарт, И. Ньютон, Г. Лейбниц). В этот период Г. Лейбниц ввел термины: «функция» (1673), «переменная», «константа» (1698). Термин «функция» в переводе с латинского означает «свершение», «выполнение». Постепенно трактовка функции стала освобождаться от первоначальных представлений и доминировать стала аналитическая – отождествляющая функцию с формулой, задающей ее (И. Бернулли, Л. Эйлер). И. Бернулли в 1718 г. дал впервые явное определение функции, Л. Эйлер в 1734 г. ввел обозначение y = f(x). Примерно в середине XIX в. понятие функции освободилось от единовластия формулы, и в новом определении делается акцент на идею соответствия (Н. И. Лобачевский, Л. Дирихле), которое называют классическим, близким к современным. После создания общей теории множеств идея соответствия была дополнена идеей множества, позволившей рассматривать функцию не только для числовых множеств, но и на объектах произвольной природы. В конце XIX в. сформировалось понятие отображения, развивающее понятие функции. В ХХ в. в связи с потребностями физики возникли «обобщенные функции» (Л. Шварц, С. Л. Соболев), сильно отличающиеся по внешнему виду от исходных представлений о функции. На примере развития понятия функции возможно познакомить учащихся с проявлением важных философских категорий – причины и следствия.[Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия : учеб.-метод. пособие / В. П. Покровский]

Этапы формирования понятий: Шамало, Виленкин. Не нашла!