Пример 9. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

.

Пример 10. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

.

Пример 11. Вычислить .

Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .

Выполним преобразования

.

Пример 12. Найти точки разрыва функции.

если

Решение. На интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке. Рассмотрим точку . .

Рис. 4.

Вычислим односторонние пределы

, .

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку . ,

, ,

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 4).

Производная

Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:

4.

Решение.

1.

2. есть сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

.

- сложная функция.

, где , а ,

. 4.

4.

Функция от независимой переменной задана через посредство вспомогательной переменной (параметра t). Производная от по определяется формулой

.

Находим производные от и по параметру t:

, ,

.

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке

,

, .

Для определения углового коэффициента касательной находим производную

,

.

Подставляя значения в уравнение, получим

или .

Уравнение нормали

,

или .

Пример 3. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .

Решение. Найдем скорость и ускорение а движения в любой момент времени t

; .

При

, .

Дифференциал, производные высших порядков

Пример 1. Найти дифференциалы функций

1. ; 2. ,

вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1. ;

2. 

.

Свойства дифференцируемых функций

Пример 1 . Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем затем правило Лопиталя.

1.

;

2.

;

здесь правило Лопиталя применено дважды.

3.

;

4. .

Исследование поведения функций

Пример 1. Исследовать и построить график функции

.

Решение.

1. Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси

.

2. Функция нечетная, ибо , ее график будет симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно построить график для .

3. График функции пересекается с осями координат только в начале координат, так как .

4. Исследуем функцию на наличие асимптот:

а) вертикальных асимптот график функции не имеет;

б) невертикальная асимптота имеет уравнение .

,

.

Таким образом, уравнение асимптоты .

4. Исследуем функцию на экстремум

.

нигде не обращается в нуль; не существует в точках , которые являются критическими.

Исследуем знак производной на интервале [0; ∞) (рис.5)

0 1

Рис. 5.

есть точка максимума, .

4. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость

.

в точке ; не существует в точках . Эти точки могут быть абциссами точек перегиба.

Исследуем знак второй производной на интервале [0; ∞) (рис.6)

0 1

Рис. 6

не является точкой перегиба.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции на интервале [0; ∞), затем симметрично полученному графику относительно начала координат на интервале (- ∞; 0) (рис.7)

Рис. 7

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [-4; 4].

Решение. 1. Найдем критические точки функции , лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках: ; в точках и . Эти точки лежат внутри отрезка [-4; 4] и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная существует всюду. Значение функции в критических точках: и .

2. Вычислим значения функции на концах отрезка [-4; 4]: и .

3. Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке , а ее наименьшее значение равно -41 и достигается на левой границе отрезка .

Функции нескольких переменных

Литература. [1], гл.VШ, § 1 - 4.

1. Частные производные.

Литература. [1], гл. VIII, § 5, 6, упр. 1-10.

Пример.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, что

3. Проверить, что

Решение.

1. Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение, следовательно

или .

Сделаем чертеж

Рис. 3.

2. При вычислении частной производной по рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,

3. При вычислении второй производной по также рассматриваем функцию как функцию только от переменной а при дифференцировании по - как функцию только от :

,

,

Контрольная работа 2. Задания

1. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж функции.

1.1.	1.11.
1.2.	1.12.
1.3.	1.13.
1.4.	1.14.
1.5.	1.15.
1.6.	1.16.
1.7.	1.17.
1.8.	1.18.
1.9.	1.19.
1.10.	1.20.

2. Найти производные данных функций.

№	а	б	в	г
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20

3.Найти указанные пределы, использую правило Лопиталя.

	а	б
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12.
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
1.20.

4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

4.1. ;	4.11. ;
4.2. ;	4.12. ;
4.3. ;	4.13. ;
4.4. ;	4.14. ;
4.5. ;	4.15. ;
4.6. ;	4.16. ;
4.7. ;	4.17. ;
4.8. ;	4.18. ;
4.9. ;	4.19. ;
4.10. ;	4.20. ;

5. Дана функция двух переменных

Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных указанному дифференциальному уравнению первого порядка.

5.1
5.2	,
5.3	,
5.4	,
5.5	,
5.6	,
5.7
5.8	,
5.9	,
5.10.	,
5.11	,
5.12	,
5.13	,
5.14	,
5.15	,
5.16	,
5.17	,
5.18	,
5.19	,
5.20	,