Распределение молекул по модулю скорости

Найдем вероятность или относительное число молекул, мо­дуль скорости которых заключен в интервале ( , + d ). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами и + d .

Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т. е. 4π ²d , объемная же плотность вероятности f( ) во всех точках слоя одинакова.

С ледовательно, согласно теореме сложения вероят­ностей, вероятность попадания в этот слой

Величина dP/d — мы ее обозначим F( ) — характеризует искомую вероятность, т.е.

Учитывая формулу для f( ), получим:

Эта формула представляет собой закон распределения Макс­велла по модулю скорости. Вид функции F( ) показан на следующем рисунке.

Эта функция тоже нормирована на единицу:

На рисунке пунктиром представлены сомно­жители функции F( ), один из сомножителей которой f( ). Площадь под кривой f( ) физиче­ского смысла не имеет.

Следует отметить, что полученные Максвеллом распределе­ния по скоростям не зависят ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состо­яниям вещества.

Характерные скорости. К ним относятся три скорости: наи­более вероятная _вер, средняя < > и среднеквадратичная _кв.

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум фун­кции распределения F( ). Эта скорость определяется из усло­вия dF/d = О, откуда следует

Средняя скорость по определению

Среднеквадратичная скорость

о на находится из условия

о ткуда следует, что

Э тот результат можно получить путем интегрирования, используя табличные значения интегралов:

В качестве примера приведем среднюю скорость молекул азота N₂ при Т = 300 К: <v> » 480 м/с. Эта величина имеет поря­док скорости звука в азоте, v_зв = = 350 м/с.

Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции

З ависимость распределения от Т. Подставив значение _вер и формулу F( ), получим, что

В соответствии с этим результатом для разных температур Т₁ < Т₂ < Т3 кривые распределения F(v) будут иметь вид, пока­занный на следующем рисунке.

Видно, что с увеличением Т максимум фун­кции F( ) смещается в сторону больших скоростей, а его вели­чина уменьшается . При этом площадь под все­ми тремя кривыми остается равной единице. Кривые на этом рисунке можно рассматривать и иначе — как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем m₁ > m₂ > m₃.

Формула Максвелла в приведенном виде

Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать ско­рости v молекул в относительных единицах — единицах наибо­лее вероятной скорости v_вер. Тогда относительная скорость мо­лекулы

При переходе к распределению по другой переменной (здесь от к u) будем исходить из вероятности dP пребывания моле­кулы в интервале скоростей ( , + d ), которая равна dР = = F( )d . Значение этой вероятности не изменится, если правую часть равенства разделить и умножить на du. Тогда можно за­писать

Таким образом, мы переходим от интервала ( , + d ) к соот­ветствующему ему интервалу (u, u + du).

Так как = u _вep и d /du = u_вер. После преобразований и подстановке в выражение для dP получим

В таком виде распределение Максвелла является универсаль­ным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Пример. Найдем относительное число молекул dN/N со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на = 1% .

В данном случае u = 1, и мы можно записать

где du = 2 |, поскольку на % отклонения могут быть как в одну, так и в другую сторону.