Замена переменной в определенном интеграле

Цель этого метода так же, как при нахождении неопределенных интегралов методом подстановки, состоит в том, чтобы преобразовать данное подынтегральное выражение так, чтобы соответствующий неопределенный интеграл принял вид табличного интеграла.

Метод замены переменной при вычислении определенного интеграла основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть - непрерывная функция на отрезке . Тогда, если:

1. функция дифференцируема на и непрерывна на ;

2. множеством значений функции является отрезок ;

3. ,

то справедлива формула:

. (4)

Формула (4) называется формулой замены переменной (или подстановки) в определенном интеграле.

Замечание. Подстановку можно осуществить как в виде , так и в виде . Кроме того, из формулы (4) следует, что если подстановка выполняется в определенном интеграле, то нет необходимости переходить обратно к старой переменной, но при этом нужно вместо пределов изменения старой переменной x указать пределы изменения новой переменной t.

Пример 4. Вычислить .

Решение.

=

Пример 5.

=

Геометрические приложения определенного интеграла

а) Вычисление величины площади плоских фигур

Определение: Фигура, которая ограничена осью абсцисс, отрезками прямых и графиком функции , где , называется криволинейной трапецией.

Рис. 2

Следует заметить, что отрезки прямых могут вырождаться в точки. В этом случае, фигура также будет являться криволинейной трапецией (рис.3 и 4).

Площадь S криволинейной трапеции выражается формулой:

. (5)

Пусть для всех , тогда криволинейная трапеция будет расположена ниже оси абсцисс. При этом справедлива формула:

. (6)

Рассмотрим несколько примеров вычисления площади фигур.

Пример 6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямой .

Решение.

Так как для всех , то для вычисления площади воспользуемся формулой (5):

(кв.ед.).

Пример 7.

Вычислить величину площади, ограниченной линиями .

Решение.

Так как подынтегральная функция , то для вычисления площади фигуры следует воспользоваться формулой (6):

(кв.ед.)

Пусть фигура ограничена сверху и снизу соответственно графиками функций и , а сбоку – отрезками прямых (рис. 8).

Тогда площадь фигуры ABDC выражается формулой:

. (7)

Эта формула будет справедлива и при любом другом расположении графиков функций и , если для всех .

Пример 8.

Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой и прямой .