Ответ «Часы на башне»

Пусть между часовой и минутной стрелками расположено k резисторов. Тогда омметр будет измерять сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных резисторов сопротивлениями kr и (60 - k)r. Сопротивление такой цепи равно

R = (kr(60 - k)r)/(kr+(60 - k)r) = r/60[30² – (k - 30)²]. (4 балла)

Таким образом, показания прибора достигают R_max = 15r при k = 30, когда стрелки выстраиваются вдоль одной прямой. (4 балла)

В первый раз это случится в 12 ч 32 мин, когда часовая стрелка сдвинется на 2 деления, а минутная на 32 деления, т.е. через 32 минуты после 12.00 (2 балла).

Примечание. Если участники олимпиады просто дадут правильный ответ без вывода формулы для сопротивления путем рассуждений, максимальное число баллов за такой ответ – 2

Итого – 10 баллов

«Кинематическая задача».

Тело движется по прямой. График зависимости его скорости  от координаты x приведён на рисунке. Найдите ускорение тела в точке с координатой x = 3 м. Найдите также максимальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м.

Ответ «Кинематическая задача».

Из графика следует, что при x < 1 м и x > 4 м скорость тела постоянна, а значит, его ускорение равно нулю. В интервале от м до м связь между численными значениями скорости  и координаты x, выраженными в СИ, даётся формулой

,

Где k  размерный коэффициент, k = 1 c^1. Пусть за малое время t скорость тела изменилась на величину . Тогда:

Разделив правую и левую часть на , получаем:

Ещё раз отметим, что в последней формуле множитель перед скоростью равен единице и имеет размерность c^-1. Таким образом, в точке с координатой м тело имеет скорость м/с и ускорение м/с².

Максимальное по модулю ускорение тело имеет в той точке интервала 1 м < x < 4 м, где максимальна по модулю его скорость, то есть в точке, где его координата минимальна. Это точка с координатой м. Скорость тела в этой точке равна м/с, а искомое максимальное ускорение равно м/с².

Примерная схема оценивания решения задачи 1

Запись уравнения, связывающего и – 2 балла;

Нахождение формулы, связывающей скорость и ускорение тела – 4 балла;

Нахождение ускорения тела в точке с координатой м – 2 балла;

Нахождение максимального ускорения – 2 балла;

Итого – 10 баллов.

«Муха и мед».

Муха, пролетая параллельно поверхности стола со скоростью  на высоте H, заметила в некоторый момент времени точно под собой каплю мёда. При помощи крыльев муха может развивать в любом направлении ускорение, не превышающее a. За какое минимальное время муха сможет достигнуть капли мёда? Какое ускорение и в каком направлении она должна для этого развить? Сила тяжести отсутствует (допустим, дело происходит в космосе).

Ответ «Муха и мед».

Рассмотрим систему отсчёта, в котором муха в начале покоится, а капля мёда, находящаяся под мухой на расстоянии H, движется от неё с постоянной скоростью  (см. рис. 1).

Рис.1

Очевидно, что в этой системе отсчета муха, чтобы достигнуть капли за минимальное время, должна начать лететь к точке встречи с мёдом по прямой с максимальным ускорением . Из построения на рисунке следует, что ² Отсюда искомое минимальное время

При этом вектор ускорения должен быть направлен под углом к поверхности стола, где найдено выше.