3. Основное уравнение гидростатики

Интегрирование уравнения (2.4) для случая, когда на жидкость действует только сила тяжести g (рис. 4), дает результат

= ,

.

Рис. 4. К выводу основного уравнения гидростатики

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий: на свободной поверхности с координатой z₀ давление равно р₀, откуда

С = + ,

поэтому + = р + gz;

p = + ( —z). (2.6)

Выражение (2.6) называется основным уравнением гидростатики, в котором z₀-z=h — заглубление рассматриваемой точки жидкости под свободной поверхностью. Подставляя g = у, получим выражение для основного уравнения гидростатики в виде

p = p₀ + . (2.7)

где h —вес столба жидкости, расположенного над рассматриваемой точкой, основанием которого является единица площади (часть гидростатического давления, обусловленная весом самой жидкости).

При измерении давления за нуль отсчета может быть принята разная его величина. Если при отсчете за нуль принято давление в абсолютной пустоте, то давление называется абсолютным (р_абс)» если же за нуль принимается давление атмосферы на уровне поверхности земли (обозначим его в абсолютных величинах р_ат), то давление называется избыточным (р_изб). Следовательно,

P_изб = Р_абс – Р_ат.

Недостаток абсолютного давления до атмосферного называется вакуумом

Р_вак =Р_ат –Р_абс.

Из (2.7) и рис. 5 следует, что каждому значению избыточного давления соответствует некоторая высота данной жидкости

h₁= , (2.8)

называемая пьезометрической. Она устанавливается в трубке, именуемой пьезометром. Если на поверхности резервуара давление р₀ равно атмосферному, уровень в пьезометре совпадает со свободной поверхностью (h₁ = h), при р₀ > р_атм — выше нее, а при р₀ < р_ат — ниже свободной поверхности в резервуаре.

Пьезометрическая высота h в (2.8) пропорциональна избыточному давлению, поэтому с помощью пьезометра оно может быть измерено, например, в мм вод. ст. На высоту h₁ в пьезометре теоретически может подняться под действием давления р₁—р_ат любая

Рис.5. Схема пьезометра

частичка жидкости в резервуаре. Поскольку пьезометрическая высота таким образом может быть отнесена к любой точке в нем и будет для всей жидкости одинаковой, выражение

, (2.9)

определяющее высоту уровня в пьезометре, одновременно характеризует уровень потенциальной энергии или статический напор жидкости в резервуаре по отношению к плоскости сравнения 0—0. Этот напор одинаков для всего объема жидкости в резервуаре и представляет собой удельную, т. е. отнесенную к единице веса, потенциальную энергию частиц жидкости в данном резервуаре по отношению к горизонту 0—0.

Из основного уравнения гидростатики также следует, что приращение давления в некоторой точке жидкости передается по всему замкнутому объему жидкости без изменения. Действительно, если в уравнении (2.7) давление р₀ увеличить на р, то, значение р также увеличится на величину р. Это важное для практики следствие называется законом Паскаля и служит исходным принципом для создания объемных гидравлических передач.

Рассмотрим с помощью основного уравнения гидростатики плавание тел. На тело, полностью или частично погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости в объеме тела, расположенном под уровнем свободной поверхности (закон Архимеда).

Рис. 6. К расчету плавания тел

Пусть выпуклое тело погружено в жидкость (рис. 6). Проведем плоскость А по наибольшему сечению (площадью S_A) тела и выберем на ней точку (х, у), а вокруг нее элементарную площадку ds. На этой площадке построим цилиндр, от свободной поверхности до нижней границы тела. Разность сил давления на верхнюю ( h₁ds) и нижнюю ( h₂ds) границы цилиндра составляет h(xy). Проинтегрировав по всей площади сечения А, получим выражение для выталкивающей силы

(2.10)

где подынтегральное выражение представляет собой объем тела, расположенный под уровнем свободной поверхности жидкости.