5. Равновесие жидкости с различной плотностью

Случаи равновесия жидкости с различной плотностью рассмотрим на примере сообщающихся сосудов. Возможны два случая равновесия жидкости в сосудах: а) сосуды заполнены однородной жидкостью; б) сосуды заполнены разнородными несмешиваемыми жидкостями. При этом в обоих случаях возможны одинаковые или разные давления на свободной поверхности в сосудах.

Рассмотрим общий случай, когда сосуды заполнены разнородными жидкостями ( ), а давление на свободной поверхности в сосудах неодинаково (р₁ р₂). Примем за плоскость сравнения поверхность раздела 00 в сосуде 1, высота слоя жидкости в котором h₁ (рис. 9). Определим в этих условиях положение уровня жидкости в сосуде 2.

Так как жидкости находятся в сосудах в покое, то в соответствии с уравнением (2.7) гидростатическое давление в плоскости 0—0

(2.14)

Из (2.14) получим

-■ (2.15)

Выражение (2.14) является общим для определения равновесия жидкости с различной плотностью и применяется для решения ряда технических задач.

Рис. 9. Равновесие жидкости с различной плотностью

Рис. 10. Схема работы ртутного пьезометра

Рассмотрим на основании (2.14) условие работы жидкостного манометра, служащего для измерения гидростатического давления. Такой манометр представляет собой стеклянную трубку, изогнутое колено которой заполняется ртутью (рис. 10).

Рис. 11. Схема работы эрлифта

Условие равновесия жидкостей в плоскости раздела жидкостей

отсюда

В частном случае, когда давление на свободной поверхности в сосудах одинаково, получим

или ,

т. е. уровни свободных поверхностей разнородных жидкостей относительно поверхности раздела обратно пропорциональны их плотностям. Уровень свободных поверхностей однородных жидкостей в сообщающихся сосудах при одинаковых давлениях на свободных поверхностях одинаков; свободные поверхности лежат в одной горизонтальной плоскости.

Условие (2.14) используется в эрлифтах, где поступающий в центральную транспортную трубу сжатый воздух снижает плотность водяной смеси в ней по сравнению с плотностью пульпы в забое, что приводит к подъему уровня пульпы в кольцевой части транспортной трубы выше свободной поверхности и подъему пульпы по трубопроводу из забоя (рис. 11). Уравнение сообщающихся сосудов поясняет и причину течения жидкости в сифоне.

6. Силы давления жидкости на поверхности

В случае сосуда, наполненного жидкостью и находящегося в покое, любая горизонтальная плоскость в нем является плоскостью равного давления. Поэтому сила полного давления жидкости на горизонтальную площадь 5 определяется по формуле (2.7)

Если внешнее давление равно атмосферному (р₀ = р_ат), то сила давления на горизонтальную площадку .

Рис. 12. Давление жидкости на плоскую стенку

Рис. 13. Давление жидкости на криволинейную поверхность

По приведенным зависимостям может быть определена сила давления жидкости на плоское дно любого сосуда. В случае наклонной, произвольно ориентированной поверхности, соприкасающейся с жидкостью, сила давления жидкости определяется по приведенным зависимостям, но давление учитывается в центре тяжести рассматриваемой поверхности

,

где h_c — вертикальное расстояние центра тяжести стенки от свободной поверхности (рис. 12), h_c = l_T sin α.

Кроме величины и направления силы давления для расчета сосудов необходимо знать и точку ее приложения (центр давления), которая для произвольно ориентированной площадки определяется по зависимости

,

где l_д — расстояние от свободной поверхности до центра давления наклонной стенки, измеряемое вдоль наклонной плоскости; J₀ — момент инерции площадки стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести площади стенки (см. рис. 12).

Рассмотрим частную задачу для наиболее распространенного типа цилиндрических стенок (рис. 13), ширина которых В в различных точках по глубине одинакова. Тогда суммарную силу давления удобно разложить на вертикальную составляющую F_z и горизонтальную составляющую F_x, перпендикулярную образующим цилиндра. Если с обратной стороны стенки действует атмосферное давление р_ат, то получим

, (2.16)

, (2.17)

где избыточное давление при р₀ = р_ат

,

а α — угол касательной к стенке на данной глубине к горизонту.

Рис. 14. Силы, действующие на колено трубы

Обозначив площадь вертикальной проекции криволинейной стенки через S_z и учтя, что Bdh = dS_z, hB ctg α dh — dV, получим

,

,

где h_c — расстояние центра тяжести площади S_z от свободной поверхности; V — объем тела давления, т. е. объем, ограниченный рассматриваемой криволинейной стенкой, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки и плоскостью свободной поверхности.

Результирующая сила давления жидкости на криволинейную поверхность

(2.18)

и направлена под углом

.

Точка приложения равнодействующей сил давления, называемая центром давления, всегда расположена ниже центра тяжести поверхности стенки и может находиться вне этой поверхности.

К рассматриваемым задачам примыкает задача о расчете на прочность тонкостенных цилиндров и труб, находящихся под давлением жидкости.

Так, например, при расчете колена трубы (рис. 14), находящейся под внутренним давлением р, исходят из условия

,

.

Пример 1. Цилиндр диаметром 20 см заполнен водой и закрыт сверху без зазора плавающим поршнем, на поршень положен груз массой о кг. На какую высоту поднимается вода в пьезометре, соединенном -с поршнем?

Подъем жидкости в пьезометре связан с повышением давления зависимостью(2.7)

Н/м²,

м.

Пример 2. Определить давление на дно резервуара и силу давления воды на пробку, закрывающую отверстие в наклонной стенке резервуара (см. рис. 12). Давление на свободную поверхность жидкости р₀= 5 МПа, l= 2 м. Диаметр пробки d = 40 мм.

Абсолютное давление на дно сосуда

Н/м².

Давление на пробку

Н/м2.

Сила давления жидкости на пробку

Н.

Пример 3. Определить избыточное давление в средней части неподвижного и вращающегося цилиндра, заполненного водой (см. рис. 8). Частота вращения цилиндра n= 400 об/мин, D = 600 мм, высота l=200 мм.

Избыточное давление в неподвижном цилиндре

Н/м²,

Избыточное давление на стенке вращающегося цилиндра (2.13)

2 g

19,62

Н/м².