Определение координат вектора на плоскости и в пространстве
Задача:
Определить координаты
в
,
если А (х1; у1) и В (х2; у2).
Дано:
;
А (х1; у1);
В (х2; у2).
Определить:
.
Решение:
Построим
радиус-векторы
точек А и В.
А
(х1; у1)
разложение
по
ортам;
В
(х2; у2)
разложение
по
ортам;
По правилу вычитания двух векторов можно представить в виде разности .
разложение
по ортам, где х = х2
х1; у = у2
у1.
Вывод: Разложить вектор по ортам, значит представить его в виде суммы произведений координат вектора на соответствующие орты.
.
.
Правило: Чтобы определить координаты любого вектора, надо из координат конца этого вектора вычесть одноименные координаты его начала.
.
.
Пример:
Определить координаты
, если М (
3; 0; 4) и N (1;
5; 3).
Д
ано:
Решение:
Воспользуемся правилом определения координат вектора:
М ( 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из
N (1; 5; 3). координат конца этого вектора вычесть одноименные
Определить: координаты его начала, то есть:
.
.
.
Ответ:
.
Упражнения:
1.
Определить координаты: 1)
;
2)
;
3)
,
если К( 2; 2;
1), Е(0; 5; 4).
Определить координаты
,
если А( 1; 0; 4),
В( 2;
3; 7),
.
8. Действия над векторами, заданными координатами
8.1. Сложение векторов, заданных координатами
Задача:
Дано: 
;
;
.
Определить: 
.
Решение:
Так
как координаты векторов известны,
разложим векторы по ортам:
;
.
;
разложение
по ортам, где х = х1 + х2;
у = у1 + у2.
.
Правило: При сложении векторов, заданных координатами, их одноименные координаты складываются.
.
.
8.2. Вычитание векторов, заданных координатами
Задача:
Дано: ; ; .
Определить:
.
Решение:
Так как координаты векторов известны, разложим векторы по ортам:
;
.
;
разложение
по ортам, где х = х1
х2; у = у1
у2.
.
Правило: При вычитании векторов, заданных координатами, их одноименные координаты вычитаются.
.
.
8.3. Умножение вектора, заданного координатами, на число
Задача:
Дано:
;
;
т число.
Определить: 
.
Решение:
Так как координаты вектора
известны,
разложим его по ортам:
. 
разложение
по ортам, где х = т х1;
у = т у1.
.
Правило: При умножении вектора, заданного координатами, на число его координаты умножаются на это число.
.
.
8.4. Свойство координат коллинеарных векторов
Для
определения свойства координат
коллинеарных векторов воспользуемся
признаком коллинеарности двух векторов,
согласно которому для того, чтобы векторы
и
были коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы существовало число к
, удовлетворяющее условию
.
Следовательно, если
имеет
координаты (х; у),
то
имеет координаты (к х; к у),
так как при умножении вектора на число
его координаты умножаются на это число.
Рассмотрим отношения одноименных
координат коллинеарных векторов
и
:
.
Вывод: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
коллинеарны
.
коллинеарны
.
Пример: Проверить, коллинеарны
ли векторы
и
,
если А (1; 1), В (7; 3), С (
4; 5), D(5;
2 ).
Д
ано: Решение:
; 1) Определим координаты и по правилу: чтобы
А (1; 1); определить координаты вектора, надо из координат
В (7; 3); конца вектора вычесть одноименные координаты его
С ( 4; 5); начала .
D
(5; 2 ).
;
.
Определить: 2) Воспользуемся свойством координат коллинеарных
;
векторов: координаты коллинеарных
векторов
пропорциональны.
.
Равенство верно.
Следовательно,
векторы коллинеарны, то есть
.
,
так как
.
Ответ: .
Упражнения:
Определить координаты
,
если
.Определить координаты
,
если
.Разложить по ортам
, если А ( 2;
3), В (2; 4), С (5; 1).В кубе ABCDA1B1C1D1 P середина В1С1; М середина АА1; К середина СD.
.
Разложить по ортам
.
Проверить коллинеарность векторов:
а)
,
если А (2; 1), В ( 4;
4), С ( 1;
1), D (7;
5);
б)
,
если
;
в)
,
если
.