11. Упражнения по теме «Векторы на плоскости и в пространстве»

1. Даны точки А (0; 1), В (1; 0), С (1; 2), D (2; 1). Доказать равенство .

2. Даны три точки А (1; 1), В ( 1; 0), С (0; 1). Найти такую точку D (х; у), чтобы .

3. Абсолютная величина равна 13. Определить т.

4. Абсолютная величина равна 25. Определить к.

5. Даны и . Определить абсолютную величину ; ; .

6. Найти единичный вектор, коллинеарный , одинаково с ним направленный.

7. Определить расстояния от точки М (1; 2;  3) до координатных плоскостей, осей координат, начала координат.

8. В плоскости (х; у) определить точку D (х; у; 0), равноудаленную от трех данных точек А (0; 1;  1), В ( 1; 0; 1), С (0;  1; 0).

9. Даны четыре точки: А (2; 7;  3), В (1; 0; 3), С ( 3;  4; 5), D ( 2; 3;  1). Указать среди векторов равные векторы.

10. Даны три точки А (1; 0; 1), В ( 1; 1; 2), С (0; 2;  1). Найти точку D (х; у; z), если известно, что 1) ; 2) .

11. При каких значениях т и п данные векторы коллинеарны:

а) и ;

б) и ?

12. При каком значении п данные векторы перпендикулярны:

а) и ;

б) и ?

13. Даны четыре точки: А (0; 1;  1), В (1;  1; 2), С (3; 1; 0), D (2;  3; 1). Определить косинус угла между .

14. Даны три точки А (0; 1;  1), В (1;  1; 2), С (3; 1; 0). Определить косинус угла С треугольника АВС.

Контрольные вопросы по теме «Векторы на плоскости и в пространстве»

1. Дать определение вектора. Чем задается вектор?

2. Дать определение направления вектора, длины вектора. Чем характеризуется любой ненулевой вектор?

3. Дать определение нулевого вектора.

4. Дать определение одинаково направленных векторов, равных векторов.

5. Дать определение противоположно направленных и противоположных векторов.

6. Дать определение суммы двух векторов. Сформулировать «правило треугольника» и «правило параллелограмма» сложения двух векторов.

7. Сформулировать «правило многоугольника» сложения нескольких векторов.

8. Дать определение разности двух векторов. Сформулировать правило вычитания двух векторов.

9. _{Дать определение произведения вектора на число.}

10. _{Дать определение коллинеарных векторов.}

11. _{Сформулировать признак коллинеарности двух векторов.}

12. Сформулировать теорему о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

13. Дать определение базиса плоскости, декартовой системы координат на плоскости.

14. _{Дать определение прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.}

15. Дать определение компланарных векторов.

16. Сформулировать теорему о разложении вектора в пространстве по трем некомпланарными векторами.

17. Дать определение базиса пространства, декартовой системы координат в пространстве.

18. Дать определение прямоугольной декартовой системы координат в пространстве.

19. Дать определение радиус – вектора точки и сформулировать его свойства.

20. Сформулировать правило разложения радиуса – вектора по ортам.

21. Сформулировать правило определения координат вектора.

22. Сформулировать правило сложения и вычитания векторов, заданных координатами.

23. _{Сформулировать правило умножения вектора, заданного координатами, на число.}

24. Сформировать свойства координат коллинеарных вектров.

25. Сформулировать правило определения длины вектора.

26. Сформулировать правило определения расстояния между двумя точками.

27. Дать определение скалярного произведения двух векторов.

28. Сформулировать свойства скалярного произведения векторов.

29. _{Сформулировать правило определения скалярного произведения двух векторов, заданных координатами.}

30. Вывести формулу косинуса угла между векторами.