2.3. Закон Паскаля. Свойство гидростатического давления в точке.
Выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δy и δz, грани этого тетраэдра перпендикулярны соответствующим координатным осям х, у, z. (рис.2.3). Применим к выделенному объему «принцип отвердевания» и рассмотрим условия равновесия тетраэдра.
Рис.2.3 Элементарный объем, выделенный в объеме жидкости. Ребра параллельны координатным осям. δРх,δРу,δPz – силы давления, действующие перпендикулярно граням.
Площади граней тетраэдра:
Площадь наклонной грани и косинусы, определяющие расположение наклонной грани и координатных осей:
Объем тетраэдра W = δxδyδz/6.
Массовые силы (F) пропорциональны массе жидкости, для однородной жидкости ее объему, их направление может быть произвольным и соответствует направлению ускорения, с которым движется вся жидкость.
Суммарная элементарная массовая сила, действующая на выделенный объем
δF = δmА,
где δm – масса элементарного объема (тетраэдра), А – ускорение, которое вызвано действием массовых сил, таких как сила тяжести и сила инерции.
Равновесие элементарного тетраэдра рассматривается при действии на его грани сил давления и элементарной суммарной массовой силы δF.
Проекции ускорения А на оси координат: Х, У и Z.
Давление жидкости, действующее на тетраэдр по его граням-площадкам, обозначим: рх, ру, рz, рn,
Силы давления жидкости, действующие на грани нормальные к осям
Оx: δРх = рх*δSx, площадь грани - δSx= (δyδz/2)= δSn* Cos(n ^x),
Оу: δРу = ру*δSу, площадь грани - δSу= (δхδz/2),
Оz: δРz = рz*δSz, площадь грани - δSz= (δxδy/2),
на наклонную грань: δРn= рn*δSn,
проекция суммарной массовой силы на ось Ох: δFx =Xδm= Х [ρ(δxδyδz/6)].
На остальные оси проекции массовой силы Y и Z могут быть записаны в таком же виде.
Составим уравнение равновесия тетраэдра под действием поверхностных и массовых сил в проекциях на ось Ох, учитываем допущение о том, что силы давления жидкости направлены по нормалям к соответствующим площадкам. Проекция сил на ось Ох
δРх – δРn + Хδm = 0.
Выразим проекцию силы давления жидкости в этом уравнении через произведение давления на площадь, проекцию массовой силы через произведение проекции ускорения (единичной массовой силы) на массу
рх(δyδz/2) –рn[δSn*Cos(n^x)] + Х*[ρ(δxδyδz/6)] = 0. (2.1)
где Cos(n ^x) – косинус между нормалью к площадке δSn и осью Ох, δm = ρδW=(δxδyδz/6) - масса жидкости в тетраэдре, W = δxδyδz/6 - объем тетраэдра.
Разделив уравнение (2.1) на площадь треугольника δyδz/2, которая равна проекции площади наклонной грани δSn на плоскость у0z, т. е. δSn*Cos(n^x) = δSх =δyδz/2, получим
рх –рn + X [ρ(δx) /3] =0.
При стремлении объема тетраэдра к нулю, δx, δy, δz также стремятся к нулю. Поэтому последний член уравнения, содержащий множитель δx, стремится к нулю.
Давления рх и рn будут стремиться к значениям гидростатического давления в вершине трехгранного угла тетраэдра. При переходе к пределу при δх→0, получим
рх - рn = 0 или рх = рn.
Аналогично, составляя уравнения равновесия вдоль осей Оу и Оz, находим
рх = ру = рz= рn
Так как размеры тетраэдра δx, δy, δz взяты произвольно, и наклон площадки δS также произволен и, следовательно, в пределе при стремлении объема тeтраэдра к нулю, давление в его вершине по всем направлениям будет одинаково.
Закон Паскаля: В объеме покоящейся жидкости величина гидростатического давления в точке не зависит от направления площадки, для которой она вычислена. И раз не зависит, значит - скаляр.
Это свойство гидростатического давления имеет место не только при покое, но и при движении идеальной жидкости.
При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством не обладает.