Дифференциал давления* площадь

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые поверхностные силы, поэтому уравнения равновесия объема в проекциях на координатные оси запишем в следующем виде:

*

Массовая сила - сила давления

Разделим уравнения (2.4) на массу ρ(δхδyδz) параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя δх,δy и δz к нулю, стягивая параллелепипед к исходной точке О.

Система дифференциальных уравнений равновесия жидкости или система уравнений Эйлера

X – (1/ρ)*(∂р/∂х) = 0 *[dx]

Y - (1/ρ)*(∂р/∂y) = 0 *[dy] (2.5)

Z - (1/ρ)*(∂р/∂z) = 0 *[dz]

Умножим первое из уравнений (2.5) на dх, второе на dу третье dz и, сложив все три уравнения, получим

X*dх+У*dy+Z*dz - (1/ρ)*[(∂р/∂х)dx + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = 0

Трехчлен, заключенный в скобках [(∂р/∂х)dx + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] , это полный дифференциал давления

dP = [(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] , (2.6)

Дифференциал давления может быть выражен через проекции ускорений на оси

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz) (2.6а.)

Уравнение (2.6а.) выражает изменение давления dP при изменении координат на dх, dу и dz в случае равновесия жидкости под действием поля сил тяжести и сил инерции переносного движения.

Если рассмотреть действие на жидкость только силы тяжести, и направить ось z вертикально вверх (рис.2.4), то Х = У = 0, Z = - g для этого случая равновесия жидкости получим

dP = - ρg*dz (2.7)

После интегрирования будем иметь

P = - ρg*z + C (2.8.)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z₀ , Р=Р₀ (см. рис.2.4). Получим

С= Р₀+ ρg*Z₀

Подставим в (2.8.), получим

P= Р₀+( Z₀ -Z) ρg (2.9)

Или

Z+P/( ρg) = Z₀ + P₀/( ρg)=const

Заменяя в уравнении (2.9) разность ( Z₀ -Z) на h — глубину расположения точки М (см.рис. 2.2.), найдем

Р = P₀ + ρgh

Получили то же основное уравнение гидростатики (2.1) или (2.2), которое было выведено иным путем.

2.5. Применение пьезометра для измерения давления.

Пьезометром называется прибор для измерения давления на основе прозрачной трубки, заполненной жидкостью, один конец которой соединен с измеряемой точкой, а второй соединен с атмосферой (рис.2.6.). Пьезо́метр (от греческого слова  пьезо — сжимаю и метрео — измеряю).

По закону о сообщающихся сосудах в резервуаре и трубке, когда они открыты, жидкость одинаковой плотности под действием атмосферного давления устанавливается на одном горизонтальном уровне.

Свободной поверхностью называется поверхность раздела жидкости и газа.

Абсолютным давлением называется полное напряжение сжатия от действия всех внешних сил (поверхностных и массовых), приложенных к жидкости.

Избыточным давлением называется разность между абсолютным и атмосферным давлением.

Любая величина и давление измеряется от принятого уровня отсчета. За уровень отсчета абсолютного давления принимается условный абсолютный ноль напряжения от действия всех внешних сил. Жидкость при абсолютном нуле находится в ненапряженном состоянии, в ней отсутствуют напряжения сжатия.

Если над свободной поверхностью (рис.2.6) давление Р₀ равно атмосферному, это означает, что абсолютное давление над свободной поверхностью равно атмосферному

Р₀=Р_абс=Р_ат,

где Р₀ – давление над свободной поверхностью, Р_ат – атмосферное давление. Обозначение Р₀ принято, как обозначение абсолютного давления над свободной поверхностью. Если закрыть сосуд крышкой над свободной поверхностью можно создать абсолютное давление больше или меньше атмосферного.

Атмосферного давление вызывается силой тяжести воздуха. Нормальному атмосферному давлению на уровне моря соответствует h_рт.ст.=0,76 м ртутного столба или давление в Па

Р_ат= ρ_рт*g*h_рт.ст.=13600*9,81*0,76=101325 Па , около 100кПа.

При средней плотности воды ρ_вод=1000 кг/м³ этому давлению соответствует высота водяного столба

h_вод.ст. = Р_ат/(ρ_вод*g)=101325/1000*9,81=10,328 м.

При средней плотности воздуха ρ_в=1,25 кг/м³ высота воздушного столба

h_в.ст. = Р_ат/(ρ_в*g)=101325/1,25*9,81=8262 м.

При принятой средней плотности воздуха 1,25 кг/м³ отсчет абсолютного давления ведем от точки, расположенной приблизительно в 8-ми километрах над землей.

Вообще-то плотность воздуха по высоте атмосферы уменьшается по экспоненте и поэтому мы используем среднюю плотность воздуха, чтобы создать точку отсчета абсолютного давления.

Избыточным называется давление, измеренное от нуля, за который принято атмосферное давление, это ноль отсчета избыточного давления. Избыточное давление есть разность между абсолютным давлением и атмосферным давлением в данной точке, избыточное давление над свободной поверхностью равно нулю.

2.5.1. В открытом сосуде абсолютное давление над свободной поверхностью равно атмосферному Р₀ = Р_ат,

Рис.2.6 Использование пьезометра при Р₀=Ратм=Р_абс. h - высота точки измерения относительно свободной поверхности, пьезометрическая высота относительно пьезометрической поверхности (П.П.), Р₀ –абсолютное давление.

Величина избыточного давления над свободной поверхностью, в точке 0

Р _0изб =Р_абс – Р_атм = Р₀ – Р_ат = 0, т.к. Р₀=Р_атм

Величина абсолютного давления над свободной поверхностью в точке 0

Р_0абс=Р_ат.

В точке 1 (рис.2.6), избыточное давление равно

где h – пьезометрическая высота, расстояние от пьезометрической плоскости до точки измерения давления.

Абсолютное давление в точке 1 для открытого сосуда

Уровни равного давления параллельны свободной поверхности.

Горизонтальные плоскости, проведенные по уровням равного давления, называются: 1)поверхностями равного давления или 2)пьезометрическими плоскостями.

Поверхность, соответствующую атмосферному давлению отмечают особо, поскольку от нее идет отсчет избыточного давления, и ее называют пьезометрической плоскостью, соответствующей атмосферному давлению, обозначают: ПП.

Пьезометрической высотой называется заглубление точки, в которой определяется давление, относительно пьезометрической плоскости.

Пьезометрическая плоскость, соответствующая атмосферному давлению проходит на рис.2.6 по свободной поверхности.

На рис.2.6. справа изображен график изменения избыточного давления от глубины жидкости. Ось Р соответствует началу отсчета избыточного давления, ось h – глубине расположения точки, в которой надо измерить давление.

2.5.2.Если резервуар закрыть герметичной крышкой, можно создать над его поверхностью избыток давления, например, компрессором накачать воздух. Давление над свободной поверхностью и в резервуаре увеличится Р₀ > Ратм, уровень жидкости в резервуаре останется без изменений, в пьезометре уровень жидкости поднимется выше свободной поверхности. Диаметр трубки и диаметр резервуара D>>d, поэтому часть жидкости из резервуара, перешедшая в трубку невелика.

Уровень жидкости в пьезометре будет соответствовать атмосферному давлению, и поднимется над свободной поверхностью жидкости на высоту

.

где h_0и – высота подъема жидкости в пьезометре при избыточном давлении над свободной поверхностью. Атмосферное давление, действовавшее на жидкость до увеличения давления над свободной поверхностью, будет продолжать действовать, как постоянная величина на всю глубину сосуда.

Над свободной поверхностью избыточное давление (в точке 0) равно добавке, которую закачали в бак сверх атмосферного

Р_0изб = Р₀-Ратм= ρgh_0и.

абсолютное давление над свободной поверхностью будет суммой атмосферного давления Р_ат и избыточного давления над свободной поверхностью

Р_0абс =Р_ат + Р_0и=Р_ат+ ρgh_0и.

Рис.2.7 Использование пьезометра при Р₀>Pатм

В точке 1 под свободной поверхностью на глубине h₁ величина избыточного давления

где – пьезометрическая высота точки 1 (расстояние от пьезометрической плоскости), h₁ – расстояние от свободной поверхности до точки 1.

В точке 1 абсолютное давление