5.2. Расход.

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока в единицу времени.

Это количество можно измерять в единицах объема, веса, массы:

	Для потока	Для элементарной струйки
Объемный	Q –м3/с	δQ = V*δS,
Массовый	Qm – кг/с	δQm = ρ*δQ,
Весовой	QG – Н/с	δQG = ρgV*δS=ρ δQm,

Где δS - площадь сечения струйки, V- скорость в сечении струйки.

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход равен сумме элементарных расходов струек в данном сечении.

(5.1)

где V=- скорость струйки, ds – живое сечение струйки.

Если использовать среднюю по сечению скорость V_ср = Q/S, то средний расход для струйки или потока равен

Q_ср = V_срS, (5.2),

где S – живое сечение потока.

Расход равен произведению средней скорости на живое сечение потока.

5.3 Уравнение неразрывности потока - уравнение расхода.

Если между двумя сечениями потока (рис.5.3) не произошло увеличения или уменьшения объема жидкости, то расход в сечениях остается постоянным.

Рис.5.3. К выводу уравнения неразрывности

Условиями неразрывности потока следующие:

1) Закон сохранения вещества;

2) Допущение о непроницаемости трубки тока для внешних и внутренних потоков;

3) Предположение о сплошности (неразрывности) среды для установившегося течения несжимаемой жидкости.

При этих условиях можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис.5.2) один и тот же.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки (уравнение расхода для элементарной струйки).

δQ = V₁ *δS₁ = V₂ *δS₂ → const (вдоль струйки), (5.3)

где V₁ , V₂ – мгновенные скорости в сечениях .

Уравнение неразрывности (расхода) для потока, ограниченного непроницаемыми стенками (уравнение расхода для потока).

Q = V_ср1 *S₁ = V_ср2 *S₂ → const (вдоль потока), (5.4)

где V_ср1 , V_{ср2 -} средние скорости.

Из уравнения расхода для потока следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений:

Уравнение расхода является следствием закона сохранения вещества.

5.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

При выводе уравнения Бернулли рассматривается установившееся течение идеальной жидкости под действием только силы тяжести.

Уравнение Бернулли связывает давление и скорость идеальной жидкости для установившегося течения.

Возьмем одну из элементарных струек (рис.5.4), составляющих поток, выделим сечениями 1-1 и 2-2 участок этой струйки произвольной длины.

Площадь первого сечения равна - δS₁, скорость в нем - V₁ , давление – P₁, а высота относительно плоскости сравнения - Z₁.

Во втором сечении δS₂, V₂ , P₂ и Z₂.

За малый отрезок времени δt выделенный участок струйки переместится в положение 1' – 2'.

Применим к массе жидкости в объеме элементарной струйки теорему об изменении кинетической энергии: работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела:

δА_Р+G = δm[(V₂²)/2 - (V₁²)/2]

На жидкость действуют силы тяжести и силы давления, нормальные к поверхностям сечений рассматриваемого участка струйки.

Рис.5.4.Вывод уравнения Бернулли

Определим работу сил давления, сил тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время δt.

Работа силы давления жидкости в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p₁*δS₁ на перемещение V₁δt:

А₁ = (p₁*δS₁)*(V₁δt)

Работа силы давления жидкости во втором сечении отрицательна, так как направление силы противоположно направлению перемещения, и определяется выражением (силы давления жидкости являются сжимающими)

А₁ = - (p₂*δS₂) *(V₂δt).

Силы давления жидкости, действующие по поверхности струйки, работы не производят, так как они нормальны к перемещениям.

Работа сил давления

δA_P = (p₁*δS₁) *( V₁δt) - (p₂*δS₂) *(V₂δt). (5.5)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенного объема струйки. Из потенциальной энергии жидкости в объеме 1 - 2 вычтем потенциальную энергию жидкости в объеме 1’- 2’. При этом энергия промежуточного объема 1’- 2 сократится, и останется лишь разность потенциальной энергии элементов 1- 1’, 2- 2’.

По уравнению расходов (закон неразрывности) элементарные объемы δW и силы тяжести заштрихованных элементов 1 -1’ и 2 - 2’ равны между собой:

δW=V₁*δS₁*δt = V₂*δS₂*δt

δG = ρ*g* V₁*δS₁*δt = ρ*g* V₂*δS₂*δt . (5.6)

Работа силы тяжести будет равна произведению разности высот на силу тяжести δG:

δA_G = δG*(z₁-z₂). (5.7)

Приращение кинетической энергии участка струйки за время δt равно разности кинетической энергии объема 1’- 2’ и кинетической энергии объема 1 - 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема 1’ - 2 сократится, и останется разность кинетических энергий элементов 1 -1’ и 2 - 2’, масса каждого из которых равна δm = δG/g.

Таким образом, приращение кинетической энергии струйки

(V₂²- V₁²)* δG/(2g), (5.8)

Сложив работу сил давления (5.5) с работой силы тяжести (5.7) и, приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.8), получим исходное уравнение

(p₁*δS₁) *( V₁δt)— (p₂*δS₂) *( V₂δt) +(z₁-z₂) *δG=(V²₂- V²₁)*δG/(2g). (5.9).

5.5. Первая форма уравнения Бернулли (исходное уравнение делим на вес)

Разделим исходное уравнение на δG - силу тяжести (5.6) элементарного объема:

δG = ρ*g *δS₁*V₁*δt = ρ*g *δS₂*V₂*δt , и произведя сокращения, получим

Сгруппировав члены, относящиеся к первому и второму сечению, получим

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной

несжимаемой жидкости (первая форма уравнения Бернулли),

уравнение удельной энергии единицы веса жидкости

(5.10)

где z - геометрический напор, Р/ρg - пьезометрический напор, V²/2g - скоростной напор.

Это уравнение еще называется уравнением полного напора, его члены имеют размерность длины.

Уравнение Бернулли (5.10) записано для двух произвольно взятых сечении струйки и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как сечения взяты произвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь одно и то же значение.

Для идеальной жидкости, движущейся вдоль струйки тока, сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная.

На рис. 5.5 показано изменение всех напоров вдоль струйки.

Рис.5.5 Изменение пьезометрического и скоростного напоров

вдоль струйки идеальной жидкости.

Линия изменения уровней жидкости в пьезометрах называется пьезометрической линией.

Поскольку в уравнении Бернулли суммарный напор постоянен, из уравнения расхода следует: при уменьшении площади поперечного сечения струйки, скорость течения жидкости увеличивается и увеличивается скоростной напор, а пьезометрический напор уменьшается, если площадь струйки увеличивается, скорость уменьшается, а пьезометрический напор возрастает.

5.6. Вторая форма уравнения Бернулли (исходное делим на объем).

Разделив исходное уравнение (5.9) на элементарный объем при перемещении из 1-2 в 1’-2’.

δW =δQ*δt= δS_1*V₁*δt = δS₂*V₂*δt, (5.10)

учитывая, что δG = ρgδW, δW = δG/ρg, где δW- элементарный объем в сечении 1-1’ и 2-2’ получим:

p₁ - p₂ +(z₁-z₂) * ρ*g = ρ* (V²₂- V²₁₎/2

Вторая форма уравнения Бернулли,

уравнение удельной энергии единицы объема жидкости

. (5.11)

Во второй форме члены уравнения Бернулли имеют размерность давления:

ρzg — весовое давление,

р — гидромеханическое давление,

ρv²/2 — динамическое давление.