5.7. Третья форма уравнения Бернулли

(исходное делим на массу).

Разделив исходное уравнение (5.9) на массу элементарного объема при перемещении из 1-2 в 1’-2’.

δm = ρ*δW = ρ*( δS₁*V₁*δt) = ρ*( δS₂*V₂*δt) = δG/g,

учитывая, что δG= gδm, получим

Третья форма уравнения Бернулли,

уравнение удельной энергии, отнесенной к единице массы жидкости

(5.12)

В этой форме члены уравнения Бернулли имеют размерность квадрата скорости.

Сумма Hg = zg+P/ρ+ V²/2 называется полной удельной механической энергией движущейся идеальной жидкости.

gz — удельная потенциальная энергия.

Частица жидкости массой δm на высоте z, обладает энергией равной (δmg)z, на единицу массы приходится удельная энергия:

(δmg)z/δm =gz.

Р/ρ - удельная энергия давления жидкости.

Частица массой δm под действием давления р может подняться на высоту h = P/ρg, ее потенциальная энергия увеличится на величину равную (δmg)h = δm(P/ρ).

На единицу массы увеличение удельной потенциальной энергии:

δm (Р/ρ)/ δm = р/ρ.

Сумма gz + р/ρ является удельной потенциальной энергией жидкости;

V2/2 - удельная кинетическая энергия жидкости.

Кинетическая энергия частицы массой δm равна δm*V²/2 , удельная энергия, отнесенная к единице массы равна:

(δm*V²/2)/δm = V²/2.

Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.

Механическая энергия жидкости может иметь три формы: потенциальная энергия, энергия давления и кинетическая энергия.

Первая и третья формы механической энергии известны из механики, они свойственны твердым и жидким телам.

Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может преобразовываться в другую, однако полная удельная энергия идеальной жидкости при этом как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.

Энергию давления легко преобразовать в механическую работу. Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является гидроцилиндр (рис. 5.6). При этом преобразовании каждая единица массы жидкости совершает работу, численно равную р/ρ.

Пусть площадь поршня равна s, его ход L, избыточное давление жидкости в левой полости цилиндра, необходимое для преодоления силы R, равно р =R/S, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. Преодолевая силу R при перемещении поршня из левого положения, давление совершает работу А = рSL. Расход жидкости, который необходимо подвести к цилиндру для совершения этой работы за время t , равен объему цилиндра, т. е. Q t = W =SL, масса M= SLρ.Удельная работа, приходящаяся на 1 кг массы жидкости:

е = А/m = pSL /( SLρ) = р/ρ.

Рис. 5.6. Преобразование энергии давления в цилиндре

5.8. Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости и их интегрирование (уравнений Эйлера).

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, y, z (рис.5.7) и выделим вблизи этой точки малый объем в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Пусть ребра этого параллелепипеда будут параллельны координатным осям и соответственно равны δх, δу и δz, тогда его объем равен δW = δх*δу*δz, а масса δМ= ρδхδуδz.

Рис.5.7 Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости.

Метод Эйлера заключается в составлении уравнения движения выделенного объема жидкости.

Спроектировав массовую силу на оси координат, получим проекции массовой силы на оси, поделив величины этих проекций и саму массовую силу на массу объема , получим единичные массовые силы или ускорения . Обозначим давление Р в точке М, давление вдоль оси Х в точке M’ - будет суммой давления в точке М и приращения давления по оси Х: .

Разность между значениями давлений в этих точках, умноженная на площадь (δyδx) даст нам силу давления жидкости, действующую вдоль оси Х

.

Принцип Д’Аламбера: При движении системы ее состояние может рассматриваться, как состояние равновесия, если к активным силам, действующим на систему, прибавить фиктивные силы (силы инерции).

В точке М скорость движения жидкости обозначим через V:

проекции скорости на оси: V_х, V_y V_z,

проекции ускорения на оси : dV_х/dt, dV_y/dt, dV_z/dt.

По принципу Д’Аламбера силы, которые необходимо ввести в уравнения равновесия, равны произведению ускорений на массу параллелепипеда.

Уравнения, описывающие движение выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси будут иметь вид:

масса ускорение масс.сила сила давления

(ρ*δхδyδz)*(dV_х/dt) = X(ρ*δхδyδz) - (dp/dx)* δхδyδz;

{ (ρ*δхδyδz)*(dV_y/dt) = Y(ρ*δхδyδz) - (dp/dy)* δхδyδz;

( ρ*δхδyδz)*(dV_z/dt) = Z(ρ*δхδyδz) - (dp/dz)* δхδyδz;

где X,Y, Z – проекции единичных массовых сил.

Разделив эти уравнения почленно на массу параллелепипеда δm = ρ*δхδyδz и, перейдя к пределу, устремляя одновременно δх, δy и δz к нулю, стягивая параллелепипед к точке М, получим уравнения движения частицы жидкости.

Система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости или уравнения Эйлера.

(5.13)

Левые части этих уравнений представляют собой проекции ускорения на оси. В правой части алгебраическая сумма единичных массовых сил и сил давления.

Уравнения Эйлера в таком виде справедливы для несжимаемой и сжимаемой жидкости. Эти уравнения используют для частного случая, когда из массовых сил действует сила тяжести, и при относительном движении жидкости. При этом в величины Х, У и Z входят компоненты ускорения переносного движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:

В проекциях на ось X:

В проекциях на ось Y:

В проекциях на ось Z:

Просуммировав эти проекции, получим:

(5.14)

Выражение в скобках является полным дифференциалом давления:

.

Произведение скорости на дифференциал скорости можно выразить :

Уравнение (5.14) можно переписать в следующем виде

Xdx +Ydy + Zdz = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2), (5.15)

Интегрирование этого уравнения выполним для случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении оси вертикально вверх X = 0, Y= 0, Z = - g. Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получим

gdz + dp/ρ + d(V²/2) = 0, или dz + dp/(gρ) + d(V²/2g) = 0.

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

d(z + p/(gρ) + (V²/2g)) = 0

Это означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю, следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока и вдоль элементарной струйки

z + p/(gρ) + (v²/2g) → const.

Получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное в предыдущем параграфе другим способом.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид первой формы уравнения Бернулли:

Задачи на идеальную жидкость. Примеры Б.П.Борисова.

1. Истечение из отверстия идеальной жидкости разной плотности. На рис.5.8. три сосуда с идеальной жидкостью. Заполнение сосудов указано. Определить скорости истечения из сосудов, используя уранение Бернуллидля для идеальной жидкости.

Рис.5.8. Пример использования уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

_{Запишем уранение Бернулли для сечений 0-0 и 1-1 и условия для сечений 0-0 и 1-1:}

Уравнение записывается в избыточных давлениях, это значит, что на уровне 0-0 и 1-1 равно давление атмосферное, для установившейся скорости, это значит, что уровень 0-0 не изменяется и скорость V₀=0. Скорость истечения равна

Чтобы воспользоваться уравнением Бернулли для рис.5.8в нужно привести жидкости в сосуде к одной плотности. Приводим жидкость плотностью ρ₁ к жидкости плотностью ρ₂, то есть определяем, какой столб жидкости плотностью ρ₂ компенсирует действие столба плотностью ρ₁.

Высота жидкости в сосуде при одинаковой плотности ρ₂ будет равна

Скорость истечения

_{2.На рис.5.9. идеальная жидкость вытекает из сосуда через сопло с диаметром d0. Определить на каком удалении от сопла диаметр струи уменьшится в 1,5 раза.}

_{Рис.5.8. Определение диаметра сечения при истечении идеальной жидкости.}

_{При свободно падении скорость и перемещение изменяются по законам}

_{При увеличении скорости по уранению неразрывности расход остает постоянным, поэтому сечение должно уменьшится. Уравнение неразрыности}

^{Скорость истечения из отверстия}