Интерполяция, аппроксимация и экстраполяция

Хотя в отличие от теоретической физики, которая исследует математические модели природы, экспериментальная физика призвана исследовать саму природу, но конечной целью эксперимента, по большому счету, является поиск математических моделей, описывающих экспериментальные результаты. Мы ограничимся поиском функциональной зависимости при обработке экспериментальных данных.

При отсутствии предварительных сведений о характере функциональной зависимости решение о выборе обычно принимается исходя из наименьшего расхождения с экспериментом и требуемой точности совпадения. При наличии сведений о такой зависимости гораздо разумнее подбирать параметры именно для такой зависимости, даже если принципиально иная зависимость обеспечивает большую точность, поскольку коэффициенты иной зависимости могут заведомо не иметь физического смысла и не помогут в интерпретации данных.

Интерполяция

Интерполяция (от слова inter, т.е. «через») это замена данных функцией, проходящей через определенные точки.

При интерполяции для представления информации о функции (x) используется таблица значений этой функции в точках:

Задачей является построение по таблице такой функции , которая бы не сильно отличалась от , оставаясь равной ей в приведенных точках.

При интерполяции методом ближайшего соседа за значение функции берется значение функции (x) в точке, ближайшей к рассматриваемой.

При кусочно-линейной интерполяции значение (x) интерполируется линейной функцией по двум соседним с точкой x точкам:

Кусочно-линейная интерполяция обычно применяется только при необходимости пересчитать имеющиеся данные к массиву с другим шагом, чтобы иметь возможность, например, поделить одни данные на другие, если они получены при разных входных значениях, но в одном диапазоне величин.

Интерполяция полиномами – обобщенный случай линейной интерполяции, в котором линейная функция заменяется полиномом высшего порядка. В нашем случае через 7 точек можно провести полином 6го порядка. Вычисление полинома проводится по интерполяционным формулам Ньютона или через интерполяционный многочлен Лагранжа. Очевидно, что с ростом числа точек сложность растет экспоненциально.

Основная идея сплайн-интерполяции функций – построение кусочно-полиномиальной интерполяции, при которой остается непрерывной функция (x) и несколько ее первых производных. Для этого в точках сшивки должны быть равны соседние полиномы и их производные. Обычно для этого достаточно уже полинома третьего порядка (т.н. кубическая сплайн-интерполяция).

Тригонометрическая интерполяция востребована в случае, когда данные носят периодический характер. Она же – интерполяция полиномом Фурье. Интерполирующая функция представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье:

Во многих случаях, особенно в последнем, возможна неоднозначная интерполяция функцией.

При обработке двухмерных данных применяют билинейную и бикубическую интерполяции, при обработке трехмерных – трилинейную, а также многомерную сплайн-интерполяцию (рис. 29).

Рис. 29 Методы интерполяции. Слева направо – метод ближайшего соседа, линейная и кубическая. Верхний ряд – интерполяция одномерных данных, нижний – двумерных [24]

Аппроксимация

Аппроксимация (от слова approx – «примерно») это поиск функции, по возможности приближенной к имеющемуся набору данных. Аппроксимация удобна, когда имеется большой массив данных, или в случае, если приведенные выше натурные данные служат опорными точками для выявления функциональной зависимости (а также в случае, когда зависимость заведомо известна).

Аппроксимация возможна с помощью любых подходящих функций, например полиномов определенного порядка. Результатом аппроксимации нулевого порядка будет константа, первого порядка – прямая с наклоном, второго – парабола. При количестве точек на одну больше порядка результатом будет интерполяция.

Для оптимального подбора параметров уравнений обычно используют метод наименьших квадратов (МНК), в котором ищут такие параметры функции, при которых квадрат отклонения минимизируется:

При аппроксимации крайне важно верно выбрать аппроксимирующую функцию, т.к. если она не описывает модель, то интерпретация данных будет затруднена.

Экстраполяция

Экстраполяция – разновидность аппроксимации, при которой функция рассчитывается вне заданного интервала, а не между точками. В зависимости от аппроксимирующей или интерполирующей функции результаты экстраполяции будут различаться. Но заметнее всего изменения именно вне диапазона точек данных. Поэтому с данными экстраполяции надо обращаться аккуратно.

Вопросы для самопроверки:

• Какой вид обработки данных ведет к экспоненциальному росту расчетов при увеличении числа точек?

• Какие требования к интерполяционным функциям при кубической сплайн-интерполяции?

• Что является результатом аппроксимации второго порядка?

• Какие методы вы бы рекомендовали для выявления неизвестной функциональной зависимости?