Основные числовые множества

№	обозначение	Название и описание
1.	N	Множество всех натуральных чисел N ={1,2,3,...,n, …};
2.	Z	Множество целых чисел. Z={…, - n,…-3,-2,-1,0,1 2,3,...,n,…};
3.	Q	Множество рациональных чисел Q = { , , };
4.	I	Множество иррациональных чисел ;
5.	R	Множество действительных (вещественных) чисел: R = Q I.

Множество натуральных чисел N содержится во множестве целых чисел Z, которое содержится во множестве рациональных чисел Q, что в свою очередь, является частью всего множества действительных чисел R. Эти отношения можно записать кратко в виде: N Z Q R (см. рис. 2.1).

Рисунок 2.1. Соотношения между числовыми множествами

2.2. Комплексные числа и действия над ними

При решении квадратного уравнения , мы выходим за границы множества действительных чисел, ибо квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом: .

Только в XVIII веке великий математик и механик Леонард Эйлер (1707 –  1783) ввел обозначение мнимой единицы: , взяв первую букву слова imaginеi res, что означает «воображаемое» или «мнимое». О существовании таких чисел знали ещё во времена Р. Декарта (1596 –  1650).

       Немецкий математик Карл Гаусс (1777 –  1855) назвал эти числа комплексными (от латинского compleks  –  объединение ), ввел обозначение и представил их изображение в виде точек на плоскости.

Следует заметить, что комплексные числа имеют большое применение в электротехнике, и там обозначаются буквой , т.к. буквой обозначается электрический ток.

Комплексное число можно представить в алгебраической тригонометрической и показательной форме.

Определение 2.1. Алгебраической формой комплексного числа называется число вида: , где a, b – действительные числа: , а – мнимая единица: . Число a называют вещественной частью комплексного числа и обозначают: ( – от слова Real – действительный, реальный). Число b называют мнимой частью комплексного числа и обозначают: (Im – от слова Imaginеires–воображаемый, мнимый).

Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число становится вещественным или действительным. Это говорит о том, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Другими словами: множество комплексных чисел содержит множество действительных чисел. Если множество комплексных чисел обозначим буквой С, то получили: или (см. рис. 2.2)

Рисунок 2.2. Соотношения между множествами: N, Z, Q, R и C

Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число называют чисто мнимым.

В алгебраической форме два комплексных числа и считаются равными между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: .

Понятия больше или меньше для комплексных чисел не существует, т.е. сравнивать комплексные числа нельзя. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число.

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Если и , то ;

, здесь учитывали, что .

Для определения операции деления комплексных чисел введем понятие сопряженного числа. Число называется сопряженным к комплексному числу . Произведение .

При делении комплексных чисел на необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, выполнить операцию умножения и выделить действительную и мнимую части.

При возведении в квадрат и в куб можно пользоваться формулами квадрат суммы: или куб суммы:

При упрощении выражений воспользовались свойствами возведения в степень числа (см. табл. 2.2).

Таблица 2. 2.