Извлечение корней из комплексных чисел

Корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому целесообразно говорить о решении уравнения: где неизвестным служит переменная , а – известное комплексное число.

Если , то . Пусть . Запишем число в тригонометрической форме: . Здесь и – известные величины. Запишем неизвестное число в тригонометрической форме: при этом и – неизвестные величины. По формуле Муавра находим: . Таким образом, приравниваем два комплексных числа: или .

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому . В этом соотношении и – положительные числа, следовательно, , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, тои их аргументы совпадают или различаются только на величину, кратную . Поэтому, .. Отсюда находим, что . В итоге получили, что корень –ой степени из комплексного числа находится по формуле:

,

где число принимает целые значения: . Значения , отличные от указанных значений в этой формуле, дадут те же значения , которые можно получить при

2.3. Понятие переменной величины и функции

Понятие переменной величины возникло в математике в XVII в. под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения — процессов, а не только состояний Переменная величина – это такая величина, которая меняет свои значения.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний; физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. - имеет свои объекты изуче­ния, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциями.

Понятие «функция» позволяет воспринимать зависимость разных величин как изменяющийся процесс. В XVIII в. - Леонард Эйлер (1707-1783гг.), ввел понятие функции переменной величины. Он писал, что лишь, когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых.

Определение 2.5. Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у. Обозначение функции: .

Эквивалентное определение функции: Пусть X и У - два множества. Множество F пар (х ;у), где , называется функцией, если для любого существует единственное , такое, что (х; y) F . Множество X называется областью определения функции, а множество У называется областью значений функции. Часто за область определения функции принимают множество - естественную область определения функции, так называемую область допустимых значений функции, а именно множество значений переменной , при которых существует заданная функция .