4.9. Признак Даламбера

Теорема 4.8. Пусть ряд (4.1) –строго положительный и существует (конечный или бесконечный) предел . Тогда при l > 1 ряд (4.1) расходится, а при l < 1 сходится. При признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда.

При нужно использовать другой признак, чаще всего требуется применить предельный признак сравнения.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда l > 1.

Так как , то при достаточно больших номерах (например, для ) будет справедливо неравенство: или , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера . По этой причине остаток ряда . Отсюда вытекает, что остаток ряда – расходится, и следовательно, по теореме 4.5 и сам ряд (4.1) расходится.

Пусть теперь l < 1. Возьмем какое-нибудь число q, удовлетворяющее неравенству l < q < 1 (например, положим ). Тогда найдется такое натуральное число m, что при всех n > m будет выполняться неравенство:

или . Тогда

И остаток ряда

– сходится (т.к. в скобках находится сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Отсюда вытекает, что ряд (4.1) сходится по теореме 4.5.

Признак Даламбера применяют в следующих случаях:

1. в общий член ряда входит какое-нибудь число в степени, например, ;

2. В общий член ряда входит факториал – последовательное произведение натуральных чисел:

,

.

Пример 4.10. Исследовать на сходимость ряд

Общий член ряда содержит факториал и степени .

Применяем признак Даламбера. .

Преобразуем отношение .

Вычисляем предел

Поэтому ряд сходится.

4.10. Радикальный признак Коши

Рассмотрим положительный числовой ряд (4.1). Теорема 4.9. Если существует предел корня -ой степени из общего члена ряда (4.1): . Тогда при l > 1 ряд (4.1) расходится, а при l < 1 сходится.

При радикальный признак Коши не дает ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно использовать другой признак.

Радикальный признак Коши является более сильным признаком, чем признак Даламбера. Иногда он может дать ответ на вопрос о сходимости ряда, когда признак Даламбера не даёт ответа на этот вопрос. Но если признак Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда, то и признак Даламбера тоже не даёт ответа на этот вопрос.

Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда содержит степени чисел или многочленов, либо когда корень хорошо извлекается.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Общий член ряда содержит -ую степень

Находим предел:

Так как , то заданный ряд сходится

4.11. Знакопеременные ряды

Определение 4.6. Числовой ряд (4.2)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Определение 4.7. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Теорема 4.10. Всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Или пусть имеется знакопеременный ряд (4.2). Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда: , то сходится и сам знакопеременный ряд (4.2).

Если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой перестановки его членов, тоже абсолютно сходится и имеет ту же самую сумму, что и исходный ряд.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Данный ряд является знакопеременный. Исследуем его на абсолютную сходимость. Ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

представляет собой обобщенно-гармонический ряд с показателем , который сходится. Следовательно, по теореме 4.10, и заданный знакопеременный ряд является сходящимся.

Определение 4.7. Если знакопеременный ряд (4.2) сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.