4.12. Знакочередующиеся ряды

Определение 4.8. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки:

(4.3)

где для всех натуральных .

Примерами знакочередующихся числовых рядов могут служить следующие ряды:

и .

Знакочередующиеся ряды исследуют вначале на абсолютную сходимость, как знакопеременные ряды. Если знакочередующийся ряд абсолютно сходится, то, по теореме 4.10, исходный знакочередующийся ряд является сходящимся. Если знакочередующийся ряд абсолютно расходится, то исходный ряд исследуют на условную сходимость.

Имеет место достаточный признак сходимости (условной) знакочередующихся рядов.

Признак Лейбница.

Теорема 4.11.

Знакочередующийся ряд (4.3)

(где для всех натуральных ), сходится, если выполняются два условия:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда(4.3) монотонно убывает, т.е. ;

2. абсолютная величина общего члена ряда (4.3) стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенству: .

Определение 4.9. Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются рядами Лейбница.

Замечание:

Исследование знакочередующегося ряда

( для всех натуральных ),

с отрицательным первым членом сводится к исследованию ряда (4.3) после умножения всех его членов на (-1).

Пример

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

Решение.

Вначале исследуем на абсолютную сходимость. Ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который расходится. Вывод: заданный ряд абсолютно расходится.

Исследуем заданный ряд на условную сходимость. Проверяем условия теоремы Лейбница.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

и абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю: .

Следовательно, по признаку Лейбница заданный ряд сходится. Эта сходимость – условная.Ответ: данный ряд сходится условно.

4.13. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда

Соотношение позволяет получить удобную оценку ошибки, которая допускается при приближенном вычислении суммы знакочередующегося ряда (4.3)

(где для всех натуральных ). Часто при приближенном вычислении сумму S данного ряда (4.3) заменяют его частичной суммой .

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд .

Сумма остатка ряда по модулю меньше модуля первого члена этого ряда.. Поэтому модуль ошибки меньше модуля абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда: .

18