010 0 0 Может быть задана графически.

1 10 0 111 1

001

000 0 1 х₃

1 00 0 0 101

х₁

Рис. 4 Графический способ задания ФАЛ.

4. При координатном способе функцию задают в виде координатной карты состояния, которую называют Карта Карно. Карты представляют собой прямоугольные таблицы, разделенные горизонтальными и вертикальными линиями на клетки. Общее число клеток соответствует числу наборов функции. Все переменные функции разбивают на 2 группы. Одна группа переменных определяет выбор строки, другая – столбца. На пересечении строки и столбца находится клетка, в которую записывают значение функции при соответствующем наборе переменных. Разделение переменных на группы осуществляется так, чтобы в соседних клетках наборы различались только значением одной переменной.

x₂x₃

x₁ 00 01 11 10

0 1 1

1. 1

Рис.5 Функция f(x₁,x₂x₃) заданная табл. истинности (табл. 2) ,представлена картой Карно.

5.При числовым способе каждому набору переменных ставят в соответствие определенное число в двоичной системе и присваивают десятичный номер, равный эквиваленту двоичного числа. Функцию задают в виде десятичных номеров тех наборов переменных, на которых она принимает значение 1.

Функция f (х₁, х₂, х₃₎, приведенная в табл.2, может быть задана числовым способом так: f = {1, 3, 7} х₁ х₂ х₃. Обратить особое внимание на порядок следования переменных.

6 .При аналитическом (алгебраическом) способе функцию задают в виде алгебраического выражения, показывающего, какие и в какой последовательности должны выполнятся логические операции над аргументами. Алгебраические выражения может быть составлено из наборов аргументов, на которых функция принимает значение 1, или из наборов аргументов, на которых она принимает значение 0. Аналитическое выражение для функции f (х₁, х₂, х₃), заданной табл.2, имеет вид:

Операции алгебры логики

Техническая интерпретация логических выражений может быть насмотрена как аналогия между высказываниями и электрическими переключателями, поскольку и те и другие имеют двоичную природу.

Любое истинное высказывание изображается в виде замкнутого, а любое ложное высказывание- в виде разомкнутого контакта. На основе принятой аналогии любую логическую функцию можно изобразить в виде некоторой переключательной схемы (вот почему логические функции часто называют переключательными). Рассмотрим переключатель, показанный на рис.6

x	f
0	0
1	1

Рис.6. а) – простейшая переключательная контактная схема

б) – таблица истинности f = х

Этот переключатель связывает между собой две точки: Р и Q. Состояние переключателя может быть выражено с помощью булевой переменной Х, которая может принимать два значения 0 и 1. Если переключатель разомкнут, то Х = 0, а если замкнут то Х = 1. Состояние соединения РQ может быть выражено с помощью булевой функции f, которая принимает одно из двух значений: 0 или 1. Если связи между точками Р и Q нет, то f = 0, если есть - f = 1. Эти результаты сведены в таблицу истинности (Рис. 6б), из которой ясно, что f = х.

2. Операция И (логическое умножение, конъюнкция)

Два переключателя А и В соединены последовательно и связывают точки Р и Q (Рис.7). Пусть состояния переключателей выражаются с помощью двух булевых переменных х₁ и х₂. Если переключатель А разомкнут, то х₁ = 0, если разомкнут, то х₁ = 1. Аналогично, х₂ = 0 или х₂ = 1, в зависимости от того, разомкнут или замкнут переключатель В. Состояние соединения РQ выражается с помощью булевой функции f, значение которой зависит от наличия связи между точками Р и Q (рис 7.а)

P Q

№	x1	x2	f
0	0	0	0
1	0	1	0
2	1	0	0
3	1	1	1

б)

x₁ & f

x₂

в)

Рис . 7. а)- переключательная контактная схема, реализующая операцию И;

б)- таблица истинности функции И.

в)- условное обозначение элемента И.

Существует четыре возможные комбинации значений переменных х₁ и х_2. .

Они сведены в таблицу истинности (рис 7б). Функцию И называют функцией булевого (логического) умножения, конъюнкцией и записывают в виде: f = х₁ * х₂ или f = х₁ ^ х_2. В цифровых системах функция “И” реализуется с помощью электронной схемы, называемой элементом И. Условное обозначение элемента И на функциональных схемах изображено на Рис.7в. Функция И истинна, если истинны все ее аргументы. Исходя из этого определения, можно вывести такие свойства функции И:

1. результат многократного логического умножения аргумента самого на себя равен исходному аргументу: х * х * х….х = х;

2. логическое произведение двух аргументов из которых первый заведомо является истинным, равно второму аргументу: 1 * х = х

3. логическое произведение двух аргументов, из которых один заведомо является ложным, равно нулю: 0 * х = 0;

4. л огическое произведение некоторого аргумента х и его отрицания х равно нулю:

3.Операция НЕ (логическое отрицание, инверсия)

Рассмотрим переключательную схему на Рис.8а. Она состоит из двух связанных переключателей: если один из них замкнут, то другой обязательно разомкнут. На Рис.8а разомкнутый переключатель представляется булевой переменной Х, замкнутый – булевой переменной Х. Для верхнего переключателя Х = 0, когда этот переключатель разомкнут, а для нижнего переключателя, который замкнут, когда верхний разомкнут, Х = 1. Говорят, что Х есть инверсия Х или НЕ Х. Следовательно, черта над булевой переменной Х означает инверсию (или отрицание) переменной.

х	x	f
0	1	1
1	0	1

а) б)

Рис.8 а) – переключательная схема функции f = х + х

б) - таблица истинности f = х + х

Связь между точками Р и Q существует всегда т.к. f = 1 в любом случае, независимо, верхний или нижний переключатель замкнут: т.е. х + х = 1. Уравнение двойственное по отношению к любому булевому уравнению, получается заменой нужного знака “ + “ не “ * “ и заменой всех 1 на 0 и наоборот. По отношению к вышеприведенному уравнению эта процедура приводит к х * х = 0

x	x	f
0	1	0
1	0	0

а) б)

Рис.9 а) – переключательная схема функции f = х * х

б) – таблица истинности f = х * х

Инвертор может быть реализован с помощью электронной схемы, условное обозначение которой приведена на рис.9.

х	f=x
0	1
1	0

1

Условное обозначение инвертора и его табл. истинности.

Функция НЕ истинна, если ложен её аргумент, и наоборот.

Эта функция обладает следующими свойствами:

1)двойное отрицание (а также любое четное количество отрицаний) некоторого аргумента х равно самому аргументу: х=х;

2)тройное отрицание (а также любое нечетное количество отрицаний) некоторого аргумента х равно отрицанию этого аргумента х=х;

3)если имеется некоторое логическое равенство, то отрицание обеих его частей не нарушает этого равенства, т.е. если f₁ = f₂, то и f₁ = f₂.

1.Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция.)

Н а рис. 10 два переключателя А и В соединены параллельно и связывают точки Р и Q. Состояния переключателей и соединения Р Q выпрямляются с помощью булевых переменных х₁, х₂ и f соответственно. Если оба переключателя А и В разомкнуты, то х₁=0, х₂=0 и ясно, что связи между точками Р Q нет;→ f=0. С другой стороны, если переключатель А замкнут, а В разомкнут, то х₁=1, х₂=0 и связь между точками Р иQ осуществляется с помощью переключателя А,→f=1.

а)

№	х1	х2	f
0	0	0	0
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	1

б) г)

Булево Двоичное

сложение сложение

0+0=0 0+0=0

0+1=1 0+1=1

1+0=1 1+0=1

1+1=1 1+1=0 (перенос 1)

в)

Рис.10 а)-переключательная контактная схема функции ИЛИ

б)-таблица истинности функции ИЛИ

в)-правила двоичного и булевого сложения

г)-условное обозначение элемента ИЛИ

Функцию ИЛИ называют функцией логического сложения, дизъюнкцией

и записывают в виде; f=х₁+х₂ или f=х₁ v х₂. В цифровых системах функция ,,ИЛИ'' реализуется с помощью электронной схемы, называемой элементом ИЛИ (условное обозначение которого приведено на рис.10 г).

Функция ИЛИ истинная, если истинен хотя бы один из её аргументов.

Исходя из этого определения дизъюнкции, можно указать её основные свойства:

1)результат многократного логического сложения некоторого аргумента с самим собой равен исходному аргументу: х+х+…+х=х;

2)логическая схема двух аргументов, из которых первой заведомо является ложным, равно второму аргументу: 0+х=х;

3)логическая схема двух аргументов, из которых один заведомо является истинным равно единице: 1+х=1;

4)логическая сумма некоторого аргумента и его отрицания равна единице: х+х=1

Основные законы булевой алгебры.

В булевой алгебре имеются четыре основных закона, регламентирующих порядок выполнения операций И, ИЛИ, НЕ в любом логическом выражении и обеспечивающих адекватное преобразование логических функций из одной формы в другую.

1. Переместительный закон справедлив как для дизъюнкции, так и для конъюнкции: от перемены мест слагаемых (сомножителей) их логическая сумма (произведение) не изменится. Так, для двух входных переменных можно записать: х₁ + х₂ = х₂ + х_1; х₁ * х₂ = х₂ * х₁ .

Переместительный закон будет справедлив при любом значении входных переменных.

2. Сочетательный закон также как и переместительный является симметричным:

а) при логическом сложении нескольких аргументов группу слагаемых можно заменить их логической суммой:

x₁+x₂+x₃=x₁+(x₂+x₃)=x₂+(x₁+x₃)=x₃+(x₁+x₂);

б) при логическом умножении нескольких аргументов группу сомножителей можно заменить их логическим произведением:

x₁*x₂*x₃=x₁*(x₂*x₃)=x₂*(x₁*x₃)=x₃*(x₁*x₂)

3. Распределительный закон.

а) распределительный закон 1-го рода: произведение суммы нескольких аргументов на какую-либо (логическую) переменную равно сумме произведений каждого слагаемого на эту переменную:

(x₂+x₃)*x₁=x₁*x₂+x₁*x₃

б) распределительный закон П-го рода: сумма некоторой логической переменной и произведение нескольких аргументов равна произведению сумм каждого сомножителя этой переменной:

x₁+x₂x₃=(x₁+x₂)*(x₁+x₃)

Док-во:

( х₁+х₂)*(х₁+х₃)=х₁*х₁+х₁*х₃+х₁*х₂+х₂*х₃=х₁+х₁*х₃+х₁*х₂+х₂*х₃=х₁(1+х₃+х₂)+х₂*х₃=х₁+х₂*х₃ —что и требовалось доказать 1

4. Закон инверсии (правило Де Моргана), симметричен относительно дизъюнкции и конъюнкции:

а) отрицание логической суммы нескольких аргументов равно логическому произведению отрицаний этих же аргументов:

х ₁+х₂+…+х_n=х₁*х₂*…*х_n

Доказательство закона не представляет трудностей, т.к. условия обращения в нуль как левой, так и правой частей закона состоит в том, чтобы был истинным хотя бы один аргумент.

б) отрицание логического произведения нескольких аргументов равно логической сумме отрицания этих же аргументов:

x₁*x₂*…x_n=x₁+x₂+…+x_n

Справедливость этого закона следует из того, что условие обращения в единицу обеих частей заключается в том, чтобы был ложным хотя бы один аргумент из любого конечного их множества.