Тема 2. « Применение производной к исследованию функций»

Пусть - дифференцируемая на интервале функция.

Определение 1. Функция возрастает на тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Определение 2. Функция убывает на тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Определение 3. Критическими точками функции (первого рода) называются точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Определение 4. Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки х_о. Тогда:

1. если производная при переходе через точку х_о меняет знак с плюса на минус, то точка х_о является точкой максимума;

2. если производная при переходе через точку х_о меняет знак с минуса на плюс, то точка х_о является точкой минимума.

хо – критическая точка: f`(xо)=0 или f`(xо) не существует
хо – точка минимума	х о	хо
хо – точка максимума	хо	хо

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции используется следующий алгоритм:

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите первую производную функции.

3. Определите критические точки первого рода (f'(x_o)=0 или f'(x_o) не существует).

4.На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на каждом из получившихся интервалов. (подставить удобное число в производную и вычислить).

5.Выпишите интервалы монотонности. Выпишите точки экстремума функции (если они есть), используя соответствующие критерии, вычислите значения функции в точках экстремума.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Определим критические точки первого рода (у'=0): =0;

х₁=1 или х₂=5.

4. На числовой оси отметим критические точки х₁=1 и х₂=5. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;1), (1;5); (5;+∞). Расставим знаки производной функции у' = на каждом из полученных интервалов:

при х=0 (-∞;1) у'(0)=5>0;

при х=2 (1;5) у'(2)= =-3<0;

при х=6 (5;+∞) у'(6)= =5>0.

5. Согласно критерию возрастания и убывания функция возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5].

Согласно критерию нахождения точек экстремума х=1 – точка максимума, х=5 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках:

= = = - максимум функции;

= = = = = - минимум функции.

Ответ: возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5]. х=1 – точка максимума; = = ; х=5 – точка минимума; = = .

Определение 5. График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

Определение 6. График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Определение 7. Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба.

Ф ункция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.1. является выпуклым на промежутках (- ;х₁) и (х₂; + ); вогнутым на (х₁;х₂). График функции имеет две точки перегиба: (х₁;у₁) и (х₂;у₂).

Критерий выпуклости-вогнутости функции: если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый;

если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Определение 8. Критическими точками функции второго рода называются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку х_о меняет знак, то точка графика с абсциссой х_о является точкой перегиба.

При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба удобно использовать следующий алгоритм:

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите первую производную функции .

3. Найдите вторую производную функции .

4. Определите критические точки второго рода ( (x_o)=0 или (x_o) не существует).

5. На числовой оси отметьте критические точки второго рода и определите знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.( подставить удобное число во вторую производную и вычислить)

6. Найдите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выпишите абсциссы точек перегиба (если они есть) и найдите значение функции в этих точках.

Пример 2. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Найдем вторую производную функции: =2х-6.

4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2х-6= 0 х=3.

5. На числовой оси отметим критическую точку х=3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2х-6 на каждом из полученных интервалов:

при х=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

при х=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

т. перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).

Значение х=3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х=3:

= =2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;3),

вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.

Пример 3. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х-7≠0 .

2. Найдем первую производную функции:

= = =

= .

3. Найдем вторую производную функции: = =

= =

= .

Вынесем в числителе 2∙(х-7) за скобки:

= =2∙ =

= = = .

4. Определим критические точки второго рода: не может быть равна нулю, поскольку числитель дроби 108≠0.

не существует, если (х-7)³=0 - критическая точка второго рода.

5. На числовой оси отметим критическую точку х=7 выколотой точкой, поскольку в этой точке функция не определена. Эта точка разбивает область определения функции на два интервала (-∞;7) и (7;+∞). Расставим знаки второй производной функции = на каждом из полученных интервалов:

при х=6 (-∞;7) (6)= <0;

при х=8 (7;+∞) (8)= >0.

вогн.

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).

Точка с абсциссой х=7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;7),

вогнутый при х (7;+ ∞).