7 Изучаемый резонатор

Рассмотрим определение внешней добротности проходного резонатора в волноводе, который образуется с помощью двух неоднородностей (штырей или диафрагм) на концах.

На рисунке 8 изображён резонатор, ограниченный тремя металлическими штырями с каждого конца, идущими от одной широкой стенки до другой. От числа и диаметра штырей зависит величина связи резонатора с внешней цепью (генератором и нагрузкой) и, следовательно, его внешняя и нагруженная добротности. На каждом типе колебаний резонатор может быть уподоблен резонансному контуру с нагруженной добротностью

Рисунок 8– Волноводный штыревой резонатор

, (22)

где – ширина резонансной кривой по уровню половинной мощности.

Внешнюю добротность резонатора удобно рассчитать исходя из амплитудно-частотной характеристики нагруженного резонатора, поскольку собственные потери пренебрежимо малы. В качестве последней в диапазоне СВЧ обычно используется функция рабочего затухания, под которой понимается отношение мощности падающей волны к мощности на выходе резонатора

, дБ, (23)

На рисунке 9 представлена схема проходного резонатора в виде длинной линии, эквивалентной волноводу. Линия шунтирована двумя реактивностями с относительными проводимостями , соответствующими неоднородностям резонатора на концах.

Рисунок 9 – Схема проходного резонатора в виде длинной линии

Пренебрегая потерями в самом резонаторе и учитывая только отражения, функцию рабочего затухания можем выразить через коэффициент отражения Г₁ от входа резонатора

,

где – входная относительная проводимость в плоскости 1–1,

и – её активная и реактивная части.

Действительно, мощность на выходе резонатора в этом случае равна разности мощностей падающей и отраженной волн

,

где – квадрат модуля коэффициента отражения.

. (24)

Входная проводимость в плоскости 1–1 будет определяться формулой длинных линий

, (25)

где – относительная проводимость нагрузки в плоскости 2–2;

– электрическая длина резонатора;

- постоянная распространения.

Чтобы воспользоваться формулой (23) геометрическая длина резонатора l должна быть достаточно большой, т. е. такой при которой можно пренебречь взаимодействием между неоднородностями по местным полям.

Выделив в (23) вещественную и мнимую части, после подстановки в (16) и преобразований получим

. (26)

Затухание равно нулю (L=1) , если выбрать электрическую длину нагруженного резонатора из соотношения

. (27)

Очевидно, если , то (p=1,2,3…) , что эквивалентно длине резонатора , где Λ₀ − резонансная длинна волны нагруженного резонатора.

В полосе пропускания резонатора проводимость слабо зависит от частоты, и её можно принять постоянной ( ) . Частотная характеристика резонатора определяется главным образом изменением электрического расстояния θ с частотой. Полагаем в диапазоне частот θ = θ₀ + ∆θ , причём в узкой полосе при можно принять

.

Тогда выражение для функции рабочего затухания с учётом (19) примет вид

.

Приращение угла θ с изменением частоты найдём по формуле дифференциального исчисления

.

После несложных преобразований получаем

.

Следовательно, для функции рабочего затухания

.

Нагруженная добротность Q_нагр резонатора соответствует уровню рабочего затухания а=3дБ. Отсюда, приравнивая единице выражение в квадратных скобках на границе полосы пропускания, т.е. при , находим выражение для нагруженной добротности

.

Поскольку потери в самом резонаторе не учитывались, то это выражение фактически определяет внешнюю добротность резонатора (Q_нагр Q_внеш). Амплитудно - частотную характеристику резонатора можно записать через

добротность, как для параллельного контура LC

.

Добротность тем выше, чем больше полуволн укладывается на длине резонатора (р = 1,2,3…) , поскольку это соответствует увеличению запаса электромагнитной энергии в резонаторе. Она также увеличивается с ростом шунтирующей проводимости (резонатор изолируется от оконечных линий). Реактивности на концах проходного резонатора влияют на его резонансную длину, укорачивая её при индуктивном характере проводимости.