4.3. Стадии парного регрессионного анализа

Стадии парного регрессионного анализа можно представить на следующем рисунке

Построение поля корреляции

Формулирование общей модели

Вычисление параметров

Вычисление нормированного коэффициента регресcии

Проверка значимости

Определение тесноты и значимости связи

Проверка точности предсказания

Анализ остаточных членов

Перекрестная проверка модели

4.4. Поле корреляции

Это графическое изображение точек с координатами, которые соответствуют значениям двух переменных для всех случаев. Обычно, значение зависимой переменной откладывают по вертикальной, а значение независимой – по горизонтальной. Поле корреляции используется при определении формы зависимости между переменными. График дает исследователю первое представление о форме данных и о возможных проблемах.

Самый распространенный метод для расчета уравнения линейной регрессии по данным наблюдений это метод наименьших квадратов.

Вывод: МНК – это метод, используемый для расчета параметров уравнения линейной регрессии, когда на основе поля корреляции минимизируются расстояния по вертикали всех точек поля от графика регрессии.

Наиболее подходящая прямая, определенная по МНК называется линией регрессии. Если точка поля не лежит на линии регрессии, то расстояние по вертикали от нее до линии регрессии называется ошибкой e_j.

Расстояния от всех точек до линии регрессии возводят в квадрат и суммируют, получая сумму квадратов ошибок. Именно это число показывает суммарную ошибку . Для определения наиболее подходящей линии с помощью МНК минимизируют суммы квадратов ошибок. Если значенияY отложить по вертикальной оси, а значения Х - по горизонтальной, то полученная аппроксимированная линия называется регрессией Y по Х, так как расстояния по вертикали минимизированы. Поле корреляции показывает, можно ли зависимость Y по Х выразить прямой линией и, следовательно, подходит ли к этим данным парная регрессионная модель

Модель парной регрессии

В модели парной регрессии форма прямой линии выражается уравнением

Y = _o + ₁X ,

где Y – зависимая или критериальная переменная,

Х – независимая переменная, или предиктор,

_o – отрезок прямой, отсекаемый на оси по Y,

₁ – угловой коэффициент (тангенс угла наклона).

Эта модель исходит из того, что Y полностью определяется Х. при известных значениях _o и ₁ можно предсказать значение Y. Однако, в маркетинговом исследовании связи между переменными не всегда детерминированы. Поэтому, чтобы учесть вероятностную природу связи, в регрессионное уравнение вводят ошибочный член. Тогда, базовое уравнение регрессии принимает вид

Y_i = _o + ₁X + e_i

где e_i – член уравнения, характеризующий ошибку i-го наблюдения. Оценка регрессионных параметров _o и ₁ относительно проста.

4.5. Определение параметров уравнения регрессии.

В большинстве случаев ₀ и ₁ неизвестны. Их определяют (оценивают), исходя из имеющихся выборочных наблюдений с помощью следующего уравнения:

где - теоретическое значениеY_i,

a и b – вычисленные значения _o и ₁, соответственно.

Константу b обычно называют ненормированным коэффициентом регрессии. Этот коэффициент выражает угол наклона линии регрессии и показывает ожидаемое изменение Y при изменении Х на единицу. Угловой коэффициент b можно вычислить через ковариацию между Х и Y(COV_xy) и дисперсию Х по формуле

COV_xy

b =  =

S²_x

X-)(Y_i - )

=  =

= 

Отрезок, отсекаемый на оси OY - а, можно вычислить по формуле

a =