Вопрос 9

Моделирование – мощный метод познания внешнего мира. Прогнозирования явлений и управления внешними процессами. замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта.

Мм- приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

-Совокупность соотношений, которые с заданной точностью описывают св-ва объекта существенные для цели исследования.

моделирование предполагает 2 основных этапа:

1) разработка модели; 2) исследование модели и получение выводов.

Цель математического моделирования: анализ реальных событий и систем математическими методами.

Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. ММодели делятся на имитационные и аналитические.

Модель физический или абстрактный объект, свойства которого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта. При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимися средствами. Общие требования к моделям:

1) адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;

2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации

об объекте (исходя из поставленной цели);

3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем

диапазоне изменения условий и параметров;

4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося

времени и программных средств.

К ММ предъявляется и целый ряд доп. требований:

· вычислимость (возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).;

· модульность (соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы);

· алгоритмизируемость (возможность разработки соответствующих алгоритма и программы, реализующих математическую модель на ЭВМ)

· робастность (характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность предугадывать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента);

· продуктивность (возможность располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании математической модели. В противном случае математическая модель будет непродуктивной, и ее применение для анализа конкретного процесса теряет смысл.);

· наглядность.

Свойства ММ

1) универсальности.

2) точности.

3) адекватности и эффективности.

4) экономичности.

5) множественности и единства (одну систему могут описывать много моделей и одна модель может описывать много систем)

6) достаточной простоты

7) устойчивости

10 вопрос. Этапы создания математической модели

Процесс построения моделей

1. Конструирование модели (1. Описание объекта. 2. Цель исслед 3. предположения)

2. Завершение идеализации объекта. (отброс неважных факторов Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.)

3. выбор и формулировка закона, которому подчиняется объект и его запись в мат форме. (Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.)

4. «оснащение» модели. Ввод сведений о начальном состоянии объекта+ввод показателей

5. формулир цель исследования модели

6. Анализ построенной модели. (теор.анализ. вычислительные методы)

7. Получение результатов. Достижение поставленной цели. Проверка на «адекватность» модели..

Существуют различные модели, используемые для описания сложных систем, такие как дескриптивные (описательные), описывающие происходящие в системе процессы; - оптимизационные, управляющие процессом, т. е. принимающие те или иные решения; - многокритериальные, рассматривающие систему по многим критериям; - игровые, пригодные для исследования и рассматривающие конфликтные ситуации; - имитационные, максимально использующие имеющуюся информацию о поведении системы.

12. Абстрагирование в математике. Понятие математического абстрагирования.

на примере геометрии. для лучшего понимания пространственных свойств исследователь вынужден временно абстрагироваться от всех их других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела представляет крайне односторонний снимок с действительности. особенность математической абстракции : абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. Это дает возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.

Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить при рассмотрении функции

Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость»

Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности, эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. Д

Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а не к эксперименту

13. Виды математических абстракций: абстракция отождествления, идеализации, абстракции потенциальной осуществимости.

абстракция отождествления, когда у предметов некоторого класса выделяется определенное общее свойство, а от всех других свойств отвлекаются. Относительно выделенного общего свойства все предметы соответствующего класса являются тождественными, и поэтому оно может быть абстрагировано, или отделено от других свойств. В результате этого образуются особые понятия, например, такие, как тяжесть, стоимость и число.

Абстракция отождествления — способ формирования общих абстрактных понятий, состоящий в том, что при рассмотрении каких-либо реальных, осязаемых исходных объектов принимаются во внимание лишь те их различия, которые по тем или иным причинам оказываются для нас существенными, и игнорируются другие — несущественные. Объекты, различающиеся лишь несущественным образом, начинают считать одинаковыми

Для изолирующей абстракции характерно отвлечение некоторых свойств и отношений изучаемых предметов и рассмотрение их как индивидуальных, самостоятельных объектов, как, например, белизна, яркость, доброта, дружба. Во всех этих примерах конкретное свойство, присущее реальным предметам, рассматривается как самостоятельный абстрактный объект.

В абстракции потенциальной осуществимости отвлекаются от реальной возможности построения тех или иных математических объектов и допускают осуществимость построения следующего объекта при наличии достаточного времени, пространства и материалов. Например, вслед за данным натуральным числом N допускается возможность построения, следующего за ним натурального числа N + 1. На этой основе образуется, во-первых, абстракция и соответственно понятие потенциальной бесконечности, а именно потенциальная возможность построения в неограниченном ряду следующего объекта, если задан предыдущий объект.

Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечногоnмножества, от невозможности задать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Понятие актуальной бесконечности возникает с помощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Идеализированный характер актуальной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстрагируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.