Вопрос 35. Теория кос

Теория кос – это реальная и живая наука, возникшая в 20-ых годах прошлого века тогда еще молодым немецким алгебраистом Э. Артином по заказу ткацкой фабрики: он выполнял, как бы сказали сегодня, хоздоговорную работу для этого предприятия.

Приведем примеры кос (рис. 1).

К1	К2	К3	К4
«Девичья коса»	Тривиальная коса	Крашеная коса	Циклическая коса
Диаграммы – проекция косы на плоскость
		1 2 3 4 1 2 3 4	1 2 3 4 2 4 1 3
Рис. 1. Примеры кос из трех и четырех нитей

Косу можно себе представлять так: в верхний и нижний край вертикальной доски вбито по n гвоздиков (n может равняться 1, 2, 3, …) – каждый из гвоздиков верхнего основания соединен нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и все время должны опускаться вниз (нить не имеет права, повернувшись, начать подниматься вверх: фигуры на рисунке 2, например, косами не являются).

Рис. 2. Эти фигуры не являются косами: их нити имеют восходящий характер

Две косы считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если одну можно превратить в точную копию другой, двигая нити (без разрывов и склеиваний) так, чтобы каждая точка каждой нити перемещалась только в горизонтальной плоскости. Такое движение показано на рисунке 3.

Рис. 3. Геометрическое доказательство тривиальности косы

Коса К тривиальна, ибо она легко превращается (см. рис. 3) в косу из четырех вертикальных нитей).

На рисунке 1 вверху у начала каждой нити указан ее порядковый номер. Внизу снова указан номер каждой нити – но здесь номера не обязаны идти по порядку: каждой косе соответствует перестановка номеров ее нитей. Так, косами К₁, К₃, К₄ на рисунке 1 отвечают перестановки:

, , . Среди кос на рисунке 1 выделяется крашеная коса К₃: так она называется вовсе не потому, что нарисовали ее нити разными цветами: крашеной называется любая коса, которой отвечает тождественная перестановка , т. е. коса, сохраняющая порядок номеров нитей.

Тривиальная коса, все нити которой вертикальные прямые является частным случаем крашеной косы.

Среди кос следует выделить, кроме крашеных, в известном смысле противоположные им - циклические косы: это косы, переставляющие все номера нитей по единому циклу, как это делает коса К₄: 12 4 3 1.

2. Алгебра кос

Косы - один из простейших геометрических объектов, легко поддающийся «алгебраизации»: косы с одинаковым числом нитей можно умножать. Делается это совсем просто (см. рис. 4): нужно приложить одну косу к другой, склеив соответствующие нити, и удалить ставшие ненужными гвоздики (нижние гвозди первой косы верхние – второй).

К	L	M = K  L
Рис. 4. Умножение кос

Такое умножение обладает рядом свойств обычного умножения чисел: выполняется ассоциативный закон

К₁(К₂К₃)=(К₁К₂)К_3,

есть аналог единицы – тривиальная коса К₂ = 1, для которой

.

Умножение кос не коммутативно. Есть и аналог деления: у каждой косы К имеется обратная коса : для нее

.

Рассмотрим данную операцию на рисунке 5.

К	К-1	К  К-1 = 1

_{Проблему классификации кос можно решать с помощью}

_{основных соотношений теории кос:}

Тривиальные соотношения

S_jS_j^{- 1} = S_j^-1S _j = 1 , S_j ^. 1=1 ^. S_j=S _j (j=1, 2,…, n-1).

Соотношения далекой коммутативности

S_iS _j =S_jS_i при i-j 2 _{(i,j=1,2,…, n-1).}

_{3. Соотношения сплетения SiSi+1Si Si+1 (i=1, 2, …, n-2).}

Доказательство.

Любая коса представляется в виде произведения элементарных кос S₁,S₂,…,S_n-1 и обратных к ним, например,

K₁=S₁S₂^-1S₁S₂^-1S₁S₂^-1. , K₃=S₂S₁S₃^-1S₁^-1S₃S₂^-1S₁S₃S₁^-1S₃^-1.

Узел - замкнутая кривая без самопересечения, узел можно описать двумерной диаграммой.

Конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в прост­ранстве называется зацеплением.

Два узла называются эквивалентными, если узел, сжимая, растягивая, двигая в пространстве (без разрывов и склеек), можно превратить в другой.

Главной проблемой теории узлов является поиск инварианта, препятствующего распутыванию.

Теорема.

Любой узел является замыканием некоторой косы.

Возьмём косу, изогнём её дугой и склеим конец с началом, получится узел. Но замыкание разных кос не всегда приводит - к разным узлам. Например, коса из трёх нитей не совпадает с косой из двух нитей, но при замыкании тоже даёт узел "трилистник"(рис.3).

рис.3

рис.4.

Теорема Рейдемейстера

Два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда от диаграммы одного узла к диаграмме другого можно перейти с помощью конечного числа двумерных элементарных операций ₁, ₂, ₃ (рис.4).

Можно ли по любой паре диаграмм узнать, эквивалентны узлы или нет, можно ли их распутать?

Оказывается можно, для каждого узла и зацепления можно построить соответствующий ему инвариант. Инварианты позволяют не только различать неодинаковые узлы и отличать узлы от незаузленных петель, но и классифицировать косы. По-разному деформированным вариантам одного и того же узла отвечает один и тот же инвариант; узлы, соответствующие разным инвариантам различны. Но два узла с одним и тем же инвариантом необязательно эквивалентны. Если инвариант узла не равен инварианту тривиального узла, то данный узел не может быть тривиальным и его нельзя распутать. Рассмотрим самые известные инварианты и вычислим их для некоторых зацеплений.

Многочлен Александера.

Этот многочлен был открыт американским математиком Александером в 1928 году. Он строится в соответствии с числом пересечений каждого вида, имеющихся на диаграмме узла. Например, узлу «трилистник» соответствует многочлен Δ_K(t)=t–1–1/t.

Многочлен Конвея

Р_L (х) - это многочлен от переменной х с целыми коэффициентами.

Теорема.

Для каждого узла или зацепления L полином Р_L(х) существует и однозначно определяет­ся следующими тремя аксиомами.

Аксиома 1.

Эквивалентным диаграммам L и L’ отвечает один и тот же полином: Р_L(х)=Р_L’(х).

Аксиома 2.

Тривиальному узлу отвечает по­лином, равный 1:Р_о(х)==1.

Аксиома 3.

Трем зацеплениям L⁺, L^-, L°, которые всюду одинаковы, кроме кружочка, где они выгля­дят так, как показано на рисунке 5, отвечают полиномы, связанные соот­ношением

Р_L+(х)-Р_L-(х)=х^.Р_L0(х).

рис.5

Теорема.

Для распавшегося зацепления Р_L (х) =О.

Вычислим полиномы Конвея для некоторых узлов и зацеплений.

а) Для двух незацепленных окружностей.

L⁺- диаграмма тривиального узла с одной двой­ной точкой, L°- диаграмма двух незацепленных окруж­ностей. Из аксиом I и II следует, что Р_L+(х) = 1.

Если заменить двойную точку диаграммы L⁺ на противоположную, а затем двойную точку уничтожить (аксиома III), то мы полу­чим диаграмму тривиального узла L^- и пару незацепленных окруж­ностей L°.

По аксиоме III, получим Р_L+(х)-Р_L-(х)=х^.Р_L0(х), 1—1=х^.Р_L0(х), Р_L0(х)=0.

б) Для двух зацепленных окружностей (правое зацепление):

Применяя аксиому III к правой двойной точке, получаем диаграмму L-, эквивалентную паре незацепленных окружностей, и тривиальный узел (с одной двойной точкой) L°.

Используя аксиому I и предыдущий подсчет, получаем Р_L-(х)=0.

Затем по аксиомам I и II получаем Р_L0(х)=1.

Подставляя эти значения в соотноше­ние аксиомы III, получим Р_L+(х)=х. Для левого зацепления полином равен –х

в) Для узла «трилистник»

Р_L(х)=1,т.к. распутывается в тривиальный узел. Р_L⁰(х) =- х, т.к. распутывается в левое зацепление двух окружностей, значит, Р_L (х) = 1 - х² по аксиоме 3.

г) Для восьмерки.

Р_L (х) = х, так как распутывается в правое зацепление двух окружностей. Р_L (х) = 1, так как распутывается в тривиальный узел.

Поэтому P_L’ (x) = 2х по аксиоме 3.

д) Для проколотой восьмерки Р_L (х) = х, так как распутывается в правое зацепление двух окружностей.

Пусть зацепление L1 = L⁰.Тогда Р_L1(х)= 1. Р_L1⁰(х) = х, так как распутывается в правостороннее зацепление двух окружностей.

Значит, Р_L1 (х) = х² + 1. В итоге Р_L (х) = х³+ 2х .

Даже небольшое число проведенных вычислений показывает, что полином Конвея — достаточно тонкий инстру­мент, позволяющий различать узлы и зацепления и устанавливать их нетри­виальность. Посчитав, например, по­линомы трилистника, восьмерки, и убедившись, что эти полиномы не равны 0 или 1, мы доказали, что их нельзя распу­тать. Разумеется, эти доказательства верны только в том случае, если уже установлен факт существования и единственности полинома Конвея для каждого узла и зацепления.

Рассмотрим подкласс невозможных фигур, изучаемый теорией кос и узлов.

Определим мультибар как многогранник, состоящий из набора брусков прямоугольного сечения, составляющих фигуру правильного многоугольника. (рис.6).

Опишем каждую сторону многогранника как линию косы и применим к ним основные соотношения теории кос: соотношение далекой коммутативности: ac = ca и соотношение сплетения: aba = bab. (рис 7)

рис.6 рис 7 рис 8 рис.9

Четырехэлементные косы, соответствующие трибару, невозможному квадрату и невозможному пентагону имеют вид: bacbacbac , bacbacbacbac, и bacbacbacbacbac.

Замыкание косы преобразует ее в узел (рис.8, рис.9).

Следовательно, если соединение, соответствующее мультибару, отличается от тривиального четырехэлементного соединения, тогда мультибар является невозможной фигурой.

У теории кос и узлов серьез­ные приложения к комп­лексному анализу, механике и физи­ке элементарных частиц, обнаружились глубокие связи между этой теорией и абстрактной алгеброй. Здесь оказались заме­шаны не только классические раз­делы физики (статистическая физика, напри­мер модель... льда), но и современная квантовая теория. А идея кодирова­ния химической информации в ма­леньких узелках (и косах!) вновь воз­никла в молекулярной биологии при расшифровке аминокислот и изучении ДНК.

36. Алгебра кос

Узлы и косы можно рассматривать как алгебраические объекты: их можно умножать. Возьмем две косы a и b c одинаковым числом нитей и соединим нижние концы нитей первой косы с верхними концами второй косы; полученную косу, сжатую в два раза в вертикальном направлении, называют произведением этих двух кос и обозначают ab.

Умножение ассоциативно, т.е. для любых трех кос a, b, c косы (a∙b) ∙c и a∙ (b∙c) эквивалентны. Тривиальная коса играет роль единицы. Чтобы получить обратную косу (т.е. a^-1), нужно зеркально отразить косу a относительно горизонтальной плоскости. Умножение кос некоммутативно.

Иными словами, косы образуют группу. Эта группа некоммутативна.

37. Прямолинейные и топологические симплексы. Примеры.

Симплекс является выпуклой линейной оболочкой точек . Поэтому он иногда называется прямолинейным( или евклидовым) симплексом.