1.5 Контрольные вопросы

1. Дать определение случайной величины.

2. Дать определение одномерного интегрального и дифференциального законов распределения случайной величины и назвать их свойства.

3. Дать определение двумерного интегрального и дифференциального законов распределения случайных величин и назвать их свойства.

4. Какие числовые параметры наиболее часто используются в качестве мер расположения и рассеяния одномерной и двумерной совокупности случайных величин?

5. Каким образом производится построение вариационного ряда, диаграммы накопленных частот, гистограммы выборки одномерной случайной величины?

6. Каким образом производится построение поля рассеяния и составление таблицы распределения двумерной совокупности случайных величин?

7. Что такое статистическая гипотеза и на основании чего ее можно принять или отвергнуть?

8. В каких случаях применяется критерий Кохрена и как с его помощью можно оценить однородность дисперсий?

9. В каких случаях однородность дисперсий проверяется по критерию Кохрена, а в каких по критерию Бартлета?

10. Как с помощью критерия Фишера можно выяснить, относятся ли дисперсии случайных величин к одной генеральной совокупности или к разным?

11. Как проверяется гипотеза о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины?

12. Что означает понятие «число степеней свободы»?

13. С помощью какого критерия оценивают соответствие экспериментального распределения случайной величины предполагаемому теоретическому закону распределения?

14. Как проверяется принадлежность случайной величины к рассматриваемой генеральной совокупности случайных величин?

Практическое занятие № 2

2.1 Метод ранговой корреляции

Поскольку даже небольшое уменьшение числа факторов приводит к значительному сокращению опытов, возникает вопрос об использовании априорной информации для предварительного отсеивания несущественных факторов. Метод ранговой корреляции позволяет в ряде случаев сравнительно просто отбросить несущественные технологические факторы, основываясь на опросе мнения специалистов, работающих в данной области. Поэтому с этого метода следует начинать эксперимент, особенно для начинающего исследователя, априорные сведения которого об исследуемом процессе, как правило, малы. Процедура определения степени влияния технологических факторов на выходной параметр этим методом сводится к следующим этапам.

I. Составление перечня факторов, оказывающих влияние на функцию отклика.

После того, как экспериментатор проанализировал литературные источники об исследуемом процессе, он составляет перечень факторов, которые по сведениям этих источников могут оказывать влияние на интересующий исследователя выходной параметр процесса.

II. Ранжирование и расширение списка факторов.

Возможно более широкому кругу специалистов (представителям различных школ) предлагается расположить составленный перечень факторов в порядке убывания степени их влияния на выбранный выходной параметр исследуемого процесса. При этом представленный список факторов каждым из опрашиваемых может быть дополнен, если по его мнению он является неполным.

III. Составление матрицы рангов

Результаты опроса представляют в виде таблицы — матрицы рангов (табл. 2.1), где для каждого фактора указывается место (значение a_ij), занимаемое им в анкете специалиста, номер которого или фамилия указывается в первом столбце матрицы. Первое место (ему присваивается ранг a_ij=1) соответствует наиболее существенному фактору, т.е. фактору X_i, оказывающему наиболее существенное влияние па интересующую исследователя функцию отклика Y, т. е. выходной параметр исследуемого процесса. По мере уменьшения влияния фактора величина ранга a_ij возрастает. Иногда матрица рангов строится с учетом квалификации опрашиваемого; в этом случае показания специалистов умножаются на коэффициент, присваиваемый в соответствии с его квалификацией, а значение a_ij соответствует результату этого перемножения. При выборе коэффициентов следует также ранжиро­вать опрашиваемых специалистов, исходя из их опыта и всеобще­го признания, ставя на первое место (присваивая им коэффициент a_ij равный 1) специалистов, чье мнение вызывает наибольшее доверие. Часто то или иное место в ранге специалистов может отдаваться нескольким экспертам. Тогда им присваивается один и тот же коэффициент. Чем меньше сумма рангов рассматриваемого фактора X_i, тем более высокое место он занимает в ранжировке, и, следовательно, большее влияние должен оказывать на выходной параметр.

Таблица 2.1 – Матрица рангов

Специалист	Факторы
	X1	X2	X3	…Xj…	Xk
1-й	a11	a12	a13	a1j	a1k
2-й	a21	a22	a23	a2j	a2kj
…	…	…	…	…	…
i-й	ai1	ai2	ai3	aij	aik
…	…	…	…	…	…
n-й	an1	an2	an3	anj	ank
Сумма рангов данного фактора	–	–	–	–	–
Cреднее арифметическое значение суммы рангов	–	–	–	–	–
Абсолютное значение отклонения суммы рангов от их среднего арифметического значения	–	–	–	–	–

IV. Расчет коэффициента конкордации

Для проверки согласованности мнений опрошенных специалистов вычисляют коэффициент конкордации:

(2.1)

где .

Для подсчета коэф­фициента конкордации используют три последние строки матрицы рангов (табл. 2.1), т. е. сумма квадратов отклонения суммы рангов рассматриваемых факторов от среднего значения суммы рангов всех факторов.

Коэффициент конкордации с помощью статистических методов позволяет определить, случайна или не случайна согласованность мнений специалистов: чем выше коэффициент конкордации, тем выше степень согласованности мнений специалистов. Коэффициент может принимать значения 0<W<1. Так, W=0 означает полное отсутствие согласованности между ранжировками специалистов, а W=1 показывает, что специалисты одинаково расположили факторы.

По полученной матрице рангов (рассчитанные значения суммы рангов занесены в третью снизу строку матрицы) строят диаграмму рангов. Если распределение на диаграмме рангов (рис. 2.1, а) равномерно, а изменение суммы рангов незначительно, то это значит, что хотя специалисты и отводят неодинаковые места техно­логическим факторам в матрице рангов, но делают они это неуверенно. В этом случае целесообразно все факторы включить в эксперимент.

Наиболее благоприятен случай быстрого экспоненциального уменьшения степени влияния факторов (рис. 2.1, б). При этом появляется возможность отбросить ряд факторов на основе проведенного опроса.

В результате проведенной ранговой корреляции перед экспе­риментатором встает вопрос: какие факторы нужно учитывать при последующих исследованиях, а какие отбросить. Например, из анализа диаграммы рангов (рис. 2.1, б) следует, что фактор Х₂ следует учитывать при проведении эксперимента, ибо он по мне­нию всех опрошенных специалистов оказывает влияние иа инте­ресующий исследователя выходной параметр (функцию отклика Y исследуемого процесса) и, при этом, его влияние, по мнению боль­шинства опрошенных специалистов, может быть существенным. В то же время, влияние фактора Х₁ по мнению ряда специалистов хотя и носит систематический характер, но является сравни­тельно несущественным.

Рисунок 2.1 – Диаграммы рангов:

а) равномерное распределение; б) экспоненциальное

Другие же специалисты считают, что влияние этого фактора на выходной параметр носит не закономерный, а случайный характер и они предлагают его вообще не учитывать в эксперименте. При таком мнении специалистов у экспериментатора могут возникнуть сомнения: следует ли этот фактор учитывать в эксперименте при дальнейшей разработке модели, адекватно описывающей исследуемый процесс, или отбросить его, как несущественный фактор. Ответ на этот вопрос может дать эксперимент и последующий дисперсионный анализ его результатов.