3.2 Решение типового примера
Предположим, что результаты эксперимента, который проводился в соответствии с матрицей ПФЭ типа 22 при n=3 параллельных опытах для каждого условия их проведения, представлены на рис.3.1.
X2
Y3=21, 19, 17 Y4=25, 27, 24
X1
0
Y1=42, 48, 44 Y2=51, 53, 49
Рисунок 3.1 - Результаты трех параллельных опытов, проведенных в соответствии с ПФЭ для двух факторов X1 и X2
Из анализа результатов эксперимента, приведенного на рисунке 6.1, видно, что при изменении значения фактора X2 от его нижнего уровня до верхнего, значения функции отклика во всех трех параллельных опытах уменьшились примерно в два раза. Поэтому влияние этого фактора экспериментально подтвердилось и не вызывает никакого сомнения. С другой стороны, варьирование фактора X1 приводит также (рисунок 6.1) к изменению значения функции отклика, хотя не с такой разительной разницей, как при изменении значений фактора X2. Объективно ответить на вопрос о случайном или закономерном характере изменений функции отклика сможет дисперсионный анализ приведенных результатов эксперимента. Для этого нужно подсчитать дисперсии внутри и между выборками, представляющими собой экспериментальные значения Yξ при фиксированном значении фактора X2 и различных значениях X1, и оценить эти дисперсии с помощью критерия Фишера. При этом дисперсия внутри выборки характеризует случайные изменения процесса, а дисперсия между выборками – систематические его изменения.
Рассмотрим значения функции отклика Yξ, соответствующие верхнему уровню фактора X2 , то есть при X2б=+1 и различным уровням варьирования X1, то есть X1=+1 и X2= –1, которые приведены в таблице 3.3.
Таблица 3.3 – Экспериментальные значения функции отклика при фиксированном значении X2 в трех параллельных опытах при различных значениях фактора X1
Номер параллельного опыта |
Значение функции отклика при заданных условиях проведения эксперимента |
|
X2=+1 |
||
X1=+1 |
X1= –1 |
|
1 |
25 |
21 |
2 |
27 |
19 |
3 |
24 |
17 |
|
76 |
57 |
|
25,33 |
19 |
Подсчитаем главное экспериментальное среднее значение функции отклика, для этого воспользуемся либо значениями функции отклика, соответствующими каждому параллельному опыту, либо их средними значениями, соответствующими одному из условий проведения эксперимента и приведенными в последней строке таблицы 3.3.
Тогда
Зная главное среднее, можно подсчитать оценку дисперсии между выборками:
Дисперсия внутри выборки, характеризующая случайную изменчивость исследуемого процесса, для приведенных в таблице 3.3 значений функции отклика, будет равна
Из
сравнения значений
и
видно, что
>
,
причем эта разница значительна.
Проверим достоверность этого отличия с помощью критерия Фишера. Экспериментальное значение F-параметра будет равно
F= / =59,97/3,17=18,92.
В соответствии с таблицей А2 приложения А для β=0,01 и ν1=1, ν2=4 критическое значение равно Fкр=21,20. Сравнивая экспериментальное и критическое значения F-параметра, приходим к выводу, что F<Fкр, то есть существенное отличие и не является закономерным, следовательно, можно утверждать, что фактор X1 не влияет на параметр отклика Y и в дальнейшем можно не учитывать его при построении модели. Этот вывод будет верным в 99 случаях из 100, так как β=0,01. Для большей достоверности нашего вывода, когда мы можем ошибиться только в одном случае из ста, фактор X1 следует отбросить при дальнейшем проведении эксперимента.