РОЗТЯГАННЯ-СТИСКАННЯ
.pdf
•про зовнішні сили: значення навантажень та координати точок на осі бруса, де прикладенні ці навантаження,
•про геометричні розміри стержня: площа поперечного перерізу – А,
•про механічні властивості матеріалу стержня: допустиме напруження –
[σ].
За формулою (1.2) обчислюємо максимальні напруження σmax та порівнюємо з допустимим [σ]. Якщо σmax ≈ [σ ]– міцність стержня забезпечена (допускається відхилення до 5% в бік перебільшення у значенні σmax над [σ]). При σmax < [σ ] стержень вважається недовантаженим, що приводить до перевитрати матеріалу. У випадку, σmax > [σ ] – стержень перевантажений, що приводить до необхідності переглянути вихідну розрахункову схему чи вибрати інший матеріал.
1.4.2Проектувальний розрахунок (підбор площі поперечного перерізу)
Основна мета цього розрахунку полягає у визначені безпечних у змісті міцності розмірів перерізу стержня, що допускаються. Проектувальний розрахунок проводиться за допомогою умови міцності (1.3).
Відомими вважаються:
•зовнішні сили: значення навантажень і координати точок на осі бруса, де прикладенні ці навантаження,
•механічні властивості матеріалу стержня: допустиме напруження – [σ].
Після побудови епюри внутрішніх поздовжніх сил, обирається переріз з максимальним значенням Nmax .
З умови міцності (1.3) площу небезпечного поперечного перерізу обчислюємо за формулою:
A ≥ N[σmax] .
Це значення площі поперечного перерізу стержня А є мінімальною оцінкою для вибору необхідної площі.
11
1.4.3Визначення максимально допустимого зовнішнього навантаження
Основна мета цього розрахунку полягає у визначені безпечного у змісті міцності зовнішнього навантаження стержня, що допускається. Розрахунок проводиться за допомогою умови міцності (1.3).
Відомими вважаються:
•геометричні розміри стержня: площа поперечного перерізу – А,
•механічні властивості матеріалу стержня: допустиме напруження – [σ].
Визначається внутрішня поздовжня сила через зовнішнє навантаження. З умови міцності (1.3) візначається Nmax ≤[σ] A , з якої далі знаходиться
навантаження, що допускається.
1.5 Нормальні та дотичні напруження на похилих площадках
Розглянемо стержень з поперечним перерізом A , навантажений силою F . У нормальному (перпендикулярному осі Z) перерізі виникають нормальні
напруження σ , що визначаються як σ = FA . А які напруження виникають на
площадці Aα , нахиленої до осі стержня під кутом α ? Положення площадки Aα визначається положенням її нормалі nα (рис.1.4а). Так як зовнішнє навантаження збігається з віссю стержня, то і на будь-якій похилій площадці внутрішні зусилля (повні напруження) збігаються з віссю стержня, у даному випадку по-
вне напруження p |
, що визначається як p |
= |
F |
|
(рис.1.4б). |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
α |
|
|
α |
|
Aα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Площа похилого перерізу |
A = |
A |
, тоді |
p = |
F |
cosα . Але |
F |
=σ , а |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
α |
cosα |
|
|
|
α |
A |
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
повне напруження |
pα =σ cosα . |
Так як cosα <1, то завжди pα <σ . Розкла- |
|||||||||
демо повне напруження pα на дві складові: нормальну та дотичну до площадки Aα (рис.1.4в). Одержимо нормальне σα і дотичне τα напруження на похилій площадці. Нормальне напруження на похилій площадці з нормаллю nα :
σ |
α |
= p cosα =σ cos2 |
α. |
(1.5) |
|
α |
|
|
Дотичне напруження на похилій площадці з нормаллю nα :
12
τ |
α |
= p sinα =σ cosα sinα = σ sin 2α. |
(1.6) |
|
|
α |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормальне напруження σα позитивне (викликає деформацію розтягання), дотичне τα теж позитивне, тому що обертає розглянуту область щодо будь-якої точки у середині цієї області за годинниковою стрілкою. Визначимо напруження на взаємно перпендикулярній площадці Aβ , нахиленої до осі стер-
жня під кутом β, що дорівнює β = π +α (рис. 1.4г). Якщо σα =σ cos2 α , то, |
||||
|
2 |
π |
|
|
мабуть, і σβ =σ cos2 β . Якщо |
підставити β = |
+α |
і з огляду на те, що |
|
cos(π +α) = −sinα , одержимо: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
σβ |
=σ sin2 α. |
|
|
(1.7) |
Рис. 1.4. Напруження на похилих площадках
Аналогічно τβ = |
σ sin 2β . Підставивши |
β = |
π |
+α , та з огляду на те, |
|
2 |
|
2 |
|
що sin(π + 2α) = −sin 2α , одержимо:
13
τβ = − |
σ sin 2α . |
(1.8) |
|
2 |
|
Нормальне напруження σβ також позитивне, а дотичне τβ – негативне (обертає розглянуту область щодо будь-якої точки у середині цієї області проти годинникової стрілки). Склавши вирази (1.5) і (1.7), одержимо σα +σβ =σ .
Тобто, сума нормальних напружень на двох взаємно перпендикулярних пло-
щадках постійна. Порівнюючи (1.6) і (1.8), маємо τα = −τβ . Ця рівність від-
биває закон парності дотичних напружень: дотичні напруження на двох
взаємно перпендикулярних площадках рівні по величині та протилежні по напрямку (знаку). Якщо відоме дотичне напруження τ на одній площадці, то на інших площадках дотичні напруження визначаються за вищевказаним законом парності (рис. 1.4г). Аналізуючи вирази (1.5) та (1.7) слід зазначити, що максимальних значень нормальні напруження досягнуть в поперечних перерізах (α = 0 ) та дорівнюють σ .
1.6Деформації та переміщення при розтяганні – стисканні. Закон Гука. Модуль пружності. Коефіцієнт Пуассона
Розглянемо розтягнутий силою F стержень довжиною l0 та площею поперечного перерізу A (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Деформований стан стержня
Під дією зовнішнього навантаження, що розтягує, подовжній розмір стержня збільшується до l1 . Зміна довжини l = l1 −l0 називається абсолютним подовженням стержня.
Відношення
14
l =ε |
(1.9) |
l0 |
|
називається відносною подовжньою деформацією (чи просто подовжньою деформацією). Якщо в стержні виникає неоднорідний напружений стан, деформація в точці а визначається шляхом граничного переходу до нескінченно малого елемента довжиною dz :
ε = |
dz |
. |
(1.10) |
|
|||
|
dz |
|
|
Відносна подовжня деформація вважається додатною при розтяганні і від’ємною при стисканні.
При цьому необхідно зазначити, що в лінійних пружних системах існує прямопропорційна залежність між напруженнями та деформаціями.
σ = E ε. |
(1.11) |
Це співвідношення називається законом Гука при центральному розтяганні – стисканні (одновісному напруженому стані).
Коефіцієнт пропорційності E – модуль пружності (подовжньої пруж-
ності) – фізична постійна матеріалу.
Орієнтовані величини модуля пружності для деяких матеріалів мають значення:
•сталь – E =(2...2,1) 105 МПа;
•мідь і сплави міді – E =(1...1,2) 105 МПа;
•алюміній і сплави алюмінію – E =(0,7...0,72) 105 МПа.
Враховуючи, що |
l =ε , |
N |
=σ , при центральному розтяганні – стис- |
|
A |
||||
|
l0 |
|
канні залежність між навантаженням та подовженням у межах пружних дефор-
мацій визначається співвідношенням l = EANl , тут; EA – називається жорсткі-
стю стержня при розтяганні.
15
Зміна довжини нескінченно малої ділянки стержня – dz = |
Ndz |
, а зміна |
|
EA |
|||
|
|
довжини всієї ділянки стержня (абсолютне подовження стержня довжиною l0 ) визначається за формулою:
|
|
|
l |
N(z)dz |
|
|
|
|
|
l = ∫0 |
. |
(1.12) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
EA |
|
|
Крім подовжніх деформацій у стержні виникають і поперечні деформації. |
||||||
Різниця b = b1 −b0 |
(рис. 1.5) називається абсолютною поперечною деформа- |
|||||
цією. Відношення |
|
b |
=ε' називається відносною поперечною деформацією. |
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Відносна поперечна деформація в лінійно пружних системах має протилежний знак від відносної подовжньої деформації.
При цьому існує прямопропорційна залежність між відносною подовжньою та відносною поперечною деформаціями ε' = −με .
Абсолютна величина відношення відносної поперечної деформації до відносної подовжньої називається коефіцієнтом поперечної деформації чи
коефіцієнтом Пуассона μ , тобто μ = εε' .
Значення коефіцієнта Пуассона для реальних матеріалів, що використовуються у машинобудуванні, розташовуються в діапазоні 0 ≤ μ ≤ 0,5 :
•для каучука близько до 0,5;
•для сталі – μ = 0,25...0,3;
•для міді – μ =0,31...0,35;
•для алюмінія – μ =0,32...0,36.
Коефіцієнт Пуассона μ також як і модуль подовжньої пружності E є фізичною константою матеріалу та характеризує його пружні властивості.
Для ізотропних матеріалів E і μ в усіх напрямках однакові (сталь, мідь, каучук, нешаруваті пластмаси), для анізотропних матеріалів E і μ у різних напрямках різні (дерево здовж та поперек волокон, шаруваті пластмаси й ін.).
Якщо навантаження, що діє на стержень, є термосиловим, то в пружній області варто застосувати принцип суперпозиції деформацій, тобто:
16
|
|
|
|
ε =εe +εt , |
|
|
|
(1.13) |
|
де εe = σ |
|
– пружна частина, а εt =αt |
t |
– температурна складова деформації, |
|||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у якій αt |
– температурний коефіцієнт лінійного розширення. |
|
|||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε = |
σ |
+α t , |
l = |
|
Nl |
+αl t. |
(1.14) |
|
|
E |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
EA |
|
||
Слід відзначити, що у невеликих діапазонах температур E і μ мало залежать від абсолютного значення температури.
1.7Потенційна енергія пружної деформації при розтяганні – стисканні
Потенційна енергія деформації, накопичена у пружному тілі, чисельно дорівнює роботі внутрішніх сил, виконаної в процесі деформування пружного тіла, тобто U =W .
Розглянемо елемент стержня довжиною dz , навантажений статично (рис. 1.6а). У межах нескінченно малого елемента значення поздовжньої сили N(z) у крайніх перерізах елемента dz з точністю до нескінченно малих першого порядка малості – однакові (рис. 1.6б). Елементарна робота зовнішніх сил
чисельно дорівнює площі трикутника (рис. 1.6в), тобто dW = |
1 |
N(z) dz . |
|
2 |
|||
|
|
Рис. 1.6. Визначення потенційної енергії при розтяганні – стисканні
17
Але |
dz = |
N(z)dz |
, тоді dW = |
N 2(z)dz |
. |
|
|
||
EA |
|
|
|
||||||
|
|
|
2EA |
|
|
||||
Повна робота є інтеграл по довжини стержня, тобто W = ∫ |
N 2(z) |
dz . |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
2EA |
|
Враховуючи, що U =W , маємо: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
U = ∫ |
N 2(z) |
dz . |
(1.15) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l |
2EA |
|
|
||
18
2Статично невизначувані системи при розтяганні – стисканні
Упрактиці розрахунків при розтяганні – стисканні зустрічаються розрахункові схеми, для яких при відомих активних зовнішніх зусиллях, рівнянь статичної рівноваги недостатньо для визначення реактивних зусиль і внутрішніх зусиль. Такі системи прийнято називати статично невизначуваними.
Статично невизначуваною називається кінематично незмінна система, у якої число невідомих зусиль, включаючи реакції опор та внутрішні сили, більше числа рівнянь статики, які можна скласти для даної системи
чи її частини.
Різниця між кількістю невідомих зусиль та кількістю незалежних рівнянь статичної рівноваги, що можна записати для всієї системи або її частини, називається ступенем статичної невизначеності системи.
Це число показує, скільки додаткових рівнянь у геометричному аналізі процесу деформування системи необхідно скласти, щоб можна було вирішити задачу. Розкриття статичної невизначуваності таких систем методом переміщень складається з чотирьох основних етапів.
Загальний план рішення таких задач полягає в наступному.
1.Статична сторона задачі (ССЗ). Визначаємо напрямок реакцій зв'язків, внутрішніх зусиль у стержнях, складаємо рівняння рівноваги, визначаємо ступінь статичної невизначуваності задачі.
2.Геометрична сторона задачі (ГСЗ). Установлюємо зв'язок між пере-
міщеннями окремих перерізів конструкції, виходячи з умови спільності переміщень. Складаємо необхідну кількість рівнянь зв’язку між переміщеннями. Число таких рівність повинно дорівнювати ступеню статичної невизначуваності системи. Отримані рівняння називаються рівняннями спільності перемі-
щень.
3.Фізична сторона задачі (ФСЗ). У рівняннях спільності переміщень для окремих елементів їхні переміщення виражаємо на підставі закону Гука через діючі в них невідомі зусилля.
4.Аналіз (синтез). Вирішуємо отриману систему рівнянь щодо невідомих зусиль.
19
Розглянемо розрахунки статично невизначуваних задач при центральному розтяганні – стисканні на прикладах.
Приклад 1. Жорстко закріплений стержень під дією зосередженої сили
Жорстко закріплений обома кінцями стержень довжиною і площею поперечного перерізу A навантажений силою F . Модуль пружності матеріалу E . Визначити опорні реакції та побудувати епюру поздовжніх сил.
Рис. 2.1а. Розрахункова схема до прикладу 1
1.ССЗ. Показуємо опорні реакції RC і RB . Записуємо єдину умову рівно-
ваги, яку можна скласти для даної задачі |
|
∑Fzi = RC + RB − F = 0 |
(2.1) |
2.ГСЗ. Так як опори жорсткі, то повне подовження стержня дорівнює нулю, тобто l = 0 . Один з підходів реалізації цієї умови такий. Відкидаємо одну з опор (припустимо нижню) та послідовно прикладаємо зовнішні сили і невідому реакцію у відкинутій опорі. Повне подовження стержня зобразиться як сума
подовжень від зовнішнього навантаження (у даному випадку |
lF ) і реакції |
RC − lR : |
|
C |
|
l = lF + lR = 0 . |
(2.2) |
C |
|
20