3 Указания к выполнению задания

Основное уравнение динамики материальной точки:

(1)

где m – масса точки, – ускорение точки, – равнодействующая действующих на точку сил.

Проецируя обе части уравнения (1) на неподвижные декартовые оси x, y, z, получим:

(2)

Уравнения (2) называют дифференциальными уравнениями движения материальной точки в проекциях на неподвижные декартовые оси. Используя эти уравнения, можно по известной массе точки и силам, действующим на неё, найти уравнения движения точки. В этом и заключается вторая основная (обратная) задача динамики точки. Решение этой задачи сводится к двойному интегрированию. После интегрирования в решение войдут постоянные интегрирования, для определения которых используют начальные условия, т.е. координаты и скорости точки в начальный момент времени. При прямолинейном движении вдоль оси x начальные условия задаются в виде:

при t = 0 x = x₀, . (3)

Решение задачи на интегрирование дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям.

1. Выбрать начало отсчёта, совмещая его с начальным положением точки и при прямолинейном движении совместив одну из осей координат с направлением движения.

2. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении (не начальном, не конечном, не в каком-то особенном) и показать все действующие на точку силы, включая и силы реакций.

3. Составить дифференциальные уравнения движения точки в виде (2).

4. Решить составленные уравнения интегрированием. В тех случаях, когда на точку действуют постоянные силы, силы, зависящие от времени t, от скорости , уравнения можно проинтегрировать методом разделения переменных. Если при этом необходимо определить только скорость точки, то часто можно ограничиться одним интегралом.

5. Определить постоянные интегрирования, используя начальные условия в виде (3.). Если дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то можно брать определённые интегралы и не вводить постоянные интегрирования.

6. Определить искомые в задаче величины.

Задание Д-1 – на вторую основную задачу динамики точки. Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать уравнение движения точки на участке АВ, учтя начальные условия. Затем по известному времени движения на участке АВ или длине l определить скорость в точке В. Эта скорость будет начальной при движении на участке ВС. После этого нужно составить и интегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС с учётом начальных условий, ведя отсчёт времени от момента, когда груз находился в точке В, полагая в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда дана длина l участка, удобнее перейти к переменному x, учтя, что:

4 Необходимый теоретический материал

_{Основное уравнение динамики точки имеет вид}

, (4) где - равнодействующая сил, действующих на точку.

Дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на декартовые оси записываются:

, (5) здесь проекции ускорения - проекции равнодействующей на соответствующие оси.

В проекциях на подвижные естественные оси и динамические уравнения движения точки записываются в форме:

, (6) где - проекция скорости на направление касательной к траектории, - модуль скорости, - радиус кривизны траектории в данной точке, - проекции равнодействующей на естественные оси.

С помощью дифференциальных уравнений движения материальной точки можно решать две основные задачи динамики: прямую и обратную.

К первой (прямой) задаче динамики точки относятся задачи, в которых по заданному движению точки требуется определить равнодействующую сил, приложенных к точке. Это задача решается посредством дифференцирования заданных уравнений движения точки.

Ко второй (обратной) задаче динамики точки относятся те задачи, в которых определяется движение точки по заданным силам. Решение второй задачи динамики точки сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки (5).

При интегрировании системы уравнений (5) в общем случае появляются шесть произвольных постоянных, которые определяют по начальным условиям. Под начальными условиями движения точки понимают значения координат и проекций скорости точки в начальный момент движения, т.е. при :

(7)

Если движение точки происходит в плоскости, то число уравнений (5) сокращается до двух, а при движении точки по прямой будет одно дифференциальное уравнение и два начальных условия.