Вероятность безотказной работы, плотность распределения и интенсивность отказов

Время появления отказа  t* рассматривают как случайную величину.

Вероятность безотказной работы за время t

Символ  Вер означает вероятность.

Пусть в начальный момент времени работает  N0 изделий. Если к моменту времени наработки ti исправными оказались  Nи(ti), а неисправными N*(ti) изделий, то статистическая оценка вероятности безотказной работы

Для простоты допустим, что число изделий настолько велико, что статистическая оценка близка к истинной вероятности . Пусть за время работы

число отказавших изделий увеличилось на

Вероятность отказа изделия за время Δti

Если отнести вероятность отказа в промежутке  Δti

 к самому промежутку, то получим плотность распределения отказов

Более точно плотность распределения в момент t

Плотность (частота) отказов (плотность вероятности отказов) представляет собой число отказов в единицу времени (скорость выбывания), отнесенное к первоначальному числу изделий. Если F(t) -  функция распределения случайной величины  t*, то F(t) = Вер(t*< t) = 1 – P(t).

Функция распределения связана с плотностью вероятности отказов 

так как время до появления отказа — величина положительная. Из последнего соотношения следует:

Интенсивность отказов  λ(t)  представляет собой число отказов в единицу времени, отнесенное не к первоначальному числу изделий, а к числу изделий, находящихся в эксплуатации в данный момент:

Если учесть, что

— суммарная наработка всех изделий за время Δti ,  то интенсивность отказов равна числу отказов в данном интервале времени, отнесенному к общей наработке изделий в этом же промежутке времени:

Более точно интенсивность отказов в момент времени t

Интенсивность отказов характеризует плотность вероятности отказов в ближайший промежуток времени, если до его начала отказ еще не произошел.

Интенсивность отказов и плотность вероятности отказов связаны соотношением

Равенство  λ(t) можно записать его в виде:

,

если учесть формулу f(t).

Пример. В эксплуатацию с ресурсом 300 часов выпущена партия из 500 объектов. Число снятых объектов после различной выработки характеризуется следующими данными:

Определить плотность вероятности и интенсивность отказов в период времени от 0 до 50 и от 200 до 250 и вероятность безотказной работы за ресурс.

Решение. За первый период снято 20 объектов и плотность вероятности отказов (для середины интервала — 25 ч).

интенсивность отказов (среднее число работающих объектов 490)

За период от 200 до 250 снято 6 объектов.

Плотность вероятности отказов

Среднее число работавших обьектов  500 -1/2(34+40) = 463.

 Интенсивность отказов

Вероятность безотказной работы за ресурс

Среднее время безотказной работы.

Если  f(t) — плотность вероятности

отказов, то среднее время безотказной работы

Интегрированием по частям находим и другую эквивалентную формулу

Основное уравнение теории надежности

Это уравнение связывает вероятность безотказной работы с интенсивностью отказов.

Из уравнений (9) и (13) получаем

или

Интегрируя обе части равенства от 0 до t, находим

(16)

Предполагая, что в начальный момент времени t = 0  изделие находится в исправном состоянии

получаем из равенства (16)

(17)

Уравнение (17) является основным уравнением теории надежности, так как позволяет по протеканию интенсивности отказов определять вероятность безотказной работы.