Случайные процессы и их основные статистические характеристики

Функцию, значение которой при каждом значении независимой переменной является случайной величиной, называют случайной функцией. Случайные функции, для которых независимой переменной является время t называют случайными процессами или стохастическими процессами.

Если, например, проведено n отдельных опытов, то в результате случайный процесс X(t) может принять n различных неслучайных (регулярных) функций времени xi(t) где i = 1, 2, …..n

Всякая функция xi(t)  которой может оказатся равным случайный процесс X(t) в результате опыта, называется реализацией случайного процесса (или возможным значением случайного процесса). Сказать заранее, по какой из реализаций пойдет процесс, невозможно.

Для любого фиксированного момента времени, например t = t1 реализация случайного процесса xi(t1) представляет собой конкретную величину, значение же случайной функции  X(t1) является случайной величиной, называемой сечением случайного процесса в момент времени t1.  Поэтому нельзя утверждать, что случайный процесс в данный момент времени имеет такое то детерминированное значение, можно говорить лишь о вероятности того, что в данный момент времени значение случайного процесса как случайной величины будет находиться в определенных пределах.

Статистические методы изучают не каждую из реализаций xi(t) образующих множество  X(t), а свойства всего множества в целом с помощью усреднения свойств входящих в него реализаций (рис. 9.3.). Поэтому при исследовании  о поведении объекта судят не по отношению к какому-либо определенному воздействию, представляющему заданную функцию времени, а по отношению к целой совокупности воздействий.

Как известно, статистические свойства случайной величины х определяют по ее функции распределения(интегральному закону распределения) F(x) или плотности вероятности (дифференциальному закону распределения) ω(x).

Случайные величины могут иметь различные законы распределения: равномерный, нормальный, экспоненциальный и др. Во многих задачах очень часто приходится иметь дело с нормальным законом распределения (или законом Гаусса), который получается, если случайная величина определяется суммарным эффектом от действия большого числа различных независимых факторов.

Напомним, что случайная величина х при нормальном законе распределения полностью определяется математическим ожиданием (средним значением) mx и средним квадратическим отклонением σx.

Аналитическое выражение функции распределения в этом случае

Следует обратить внимание на то, что, хотя переменная интегрирования и верхний предел интегрирования обозначены одним символом, это не отражается на конечных результатах и не должно привести к недоразумениям.

Аналитическое выражение плотности вероятности для нормального закона распределения

Типичные графики функций распределения F(x) и плотности вероятности ω(x) для различных значений σx приведены на рис. 9.2, а, б. Изменение среднего значения mx вызывает только смещение кривых F(x) и ω(x) вдоль оси абсцисс без изменения их формы, а изменение величины σx вызывает изменение масштаба вдоль обеих координатных осей, причем площадь, ограничиваемая кривой  ω(x) и осью абсцисс, всегда остается конечной и равной единице, т. е.

поскольку F(∞) = 1, F(-∞) = 0

Рис. 9.2

При конечных пределах интегрирования величина интеграла будет меньше единицы. Уже при пределах интегрирования от (mx - 3σx) до (mx + 3σx) величина интеграла равна 0,997. Так как вероятность того, что х лежит между (mx - 3σx) и (mx + 3σx)  равна 0,997, то величину 3σx часто используют в практических расчетах в качестве верхней границы отклонения от среднего значения.

Для случайного процесса также вводят понятие функции распределения F(x,t) и плотности вероятности ω(x,t), которые зависят от фиксированного момента времени наблюдения t и от некоторого выбранного уровня х, т. е. являются функциями двух переменных: x и t.

Рассмотрим случайную величину  X(t1) т. е. сечение случайного процесса в момент времени t1. Одномерной функцией распределения (функцией распределения первого порядка) случайного процесса X(t) называют вероятность того, что текущее значение случайного процесса X(t1) в момент времени t1 не превышает некоторого заданного уровня (числа) х1 т. е.

Если функция F1(x1,t1) имеет частную производную по x1, т. е.

то функцию ω1(x1,t1)  называют одномерной плотностью вероятности (плотностью вероятности первого порядка) случайного процесса. Величина

представляет собой вероятность того, что X(t) находится в момент времени t = t1 в интервале от x1 до x1 + dx1. В каждые отдельные моменты времени t1,t2,…,tn случайные величины (сечения случайного процесса) X(t1), X(t2),….., X(tn) будут иметь свои, в общем случае разные, одномерные функции распределения F1(x1,t1), F1(x2,t2),….., F1(xn,tn) и плотности вероятности ω1(x1,t1), ω1(x2,t2),……, ω1(xn,tn).

Функции F1(x,t) и ω1(x,t) являются простейшими статистическими характеристиками случайного процесса. Они характеризуют случайный процесс изолированно в отдельных его сечениях, не раскрывая взаимной связи между сечениями случайного процесса, т. е. между возможными значениями случайного процесса в различные моменты времени.

Знания этих функций еще недостаточно для описания случайного процесса в общем случае. Необходимо охарактеризовать также взаимную связь случайных величин в различные произвольно взятые моменты времени.

Рассмотрим теперь случайные величины X(t1) и X(t2), относящиеся к двум разным моментам времени  t1 и t2, наблюдения случайного процесса.

Вероятность того, что X(t) будет не больше x1 при t = t1 и не больше x2 при  t = t2, т. е.

называют двумерной функцией распределения (функцией распределения второго порядка). Если функция F2(x1,t1;x2,t2) имеет частные производные по x1 и х2 т. е.

то функцию ω2(x1,t1;x2,t2) называют двумерной плотностью  вероятности  (плотностью вероятности второго порядка). Величина

равна вероятности того, что X(t) при t = t1 убудет находиться в интервале от x1 до x1 + dx1, а при  t = t2 в интервале от x2 до x2 + dx2

Аналогично можно ввести понятие от n-мерной функции распределения:

Если функция  Fn имеет частные производные по всем аргументам x1,x2,..,xn, т. е.

то функцию Ωn называют n-мерной плотностью вероятности. Чем выше порядок n тем полнее описываются статистические свойства случайного процесса. Зная n-мерную функцию распределения, можно найти по ней одномерную, двумерную и другие вплоть до (n-1)  функции распределения более низкого порядка. Однако многомерные законы распределения случайных процессов являются сравнительно громоздкими характеристиками и с ними крайне трудно оперировать на практике. Поэтому при изучении случайных процессов часто ограничиваются случаями, когда для описания случайного процесса достаточно знать только его одномерный или двумерный закон распределения.

Примером случайного процесса, который полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности, является так называемый чистый случайный процесс, или белый шум. Значения X(t) в этом процессе, взятые в разные моменты времени t, совершенно независимы друг от друга, как бы близко ни были выбраны эти моменты времени. Это означает, что кривая белого шума содержит всплески, затухающие за бесконечно малые промежутки времени. Так как значения X(t) например, в момент времени  t1 и t2 независимы, то вероятность совпадения событий, заключающихся в нахождении X(t) между x1  и x1 + dx1 в момент времени  t1 и между x2  и x2 + dx2 в момент t2 равна произведению вероятностей каждого из этих событий, поэтому

и вообще для белого шума

т. e. все плотности вероятности белого шума определяются из одномерной плотности вероятности.

Для случайных процессов общего вида, если известно, какие значения приняла величина X(tk) в момент времени tk тем самым имеем некоторую информацию относительно X(tm), где k < m так как величины X(tk) и X(tm), вообще говоря, зависимы. Если кроме X(tk) известна X(tl), где l < k, то информация о X(tm) еще более увеличивается. Таким образом, увеличение наших знаний о поведении процесса до момента tk приводит к тому, что увеличивается информация о X(tm).

Однако существует особый класс случайных процессов, впервые исследованных известным математиком А. А. Марковым и называемых марковскими случайными процессами, для которых знание значения процесса в момент  tk  уже содержит в себе всю информацию о будущем ходе процесса, какую только можно извлечь из поведения процесса до этого момента. В случае марковского случайного процесса для определения вероятностных характеристик процесса в момент времени tm достаточно знать вероятностные характеристики для любого одного предшествующего момента времени tk . Знание вероятностных характеристик процесса для других предшествующих значений времени, например ti  не прибавляет информации, необходимой для нахождения  X(tm).

Для марковского процесса справедливо следующее соотношение:

т. е. все плотности вероятности марковского процесса определяются из двумерной плотности вероятности. Другими словами, марковские случайные процессы полностью характеризуются двумерной плотностью вероятности.

Понятие о функции распределения  и плотности вероятности  случайного  процесса обычно используют при теоретических построениях и определениях. В практике исследования прочности сооружений широкое распространение получили сравнительно более простые, хотя и менее полные характеристики случайных процессов, аналогичные числовым характеристикам случайных величин. Примерами таких характеристик служат рассматриваемые ниже математическое ожидание, дисперсия, среднее значение квадрата случайного процесса, корреляционная функция, спектральная плотность и другие.

Математическим ожиданием (средним значением) mx(t) случайного процесса X(t) называют величину

где ω1(x,t) — одномерная плотность вероятности случайного процесса X(t).

Математическое ожидание случайного процесса X(t) представляет собой некоторую неслучайную (регулярную) функцию времени mx(t),  около которой группируются и относительно которой колеблются все реализации данного случайного процесса (рис. 9.3).

Математическое ожидание случайного процесса в каждый фиксированный момент времени tk равно математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(tk) и представляет собой операцию вероятностного усреднения случайной величины X(tk),  при котором каждое возможное значение для случайной величины х принимается с весом, равным элементу вероятности ω1(x,tk)dx. Математическое ожидание называют средним значением, случайного процесса по множеству (средним по ансамблю, статистическим средним), поскольку оно представляет собой вероятностно

Рис. 9.3

усредненное значение бесконечного множества реализации случайного процесса.

Средним значением квадрата случайного процесса называют величину

Часто вводят в рассмотрение так называемый центрированный случайный процесс Ẋ(t) под которым понимают отклонение случайного процесса X(t) от его среднего значения mx(t)  или

Тогда случайный процесс X(t) можно рассматривать как сумму двух составляющих: регулярной составляющей, равной математическому ожиданию mx(t)  и центрированной случайной составляющей Ẋ(t) т. е.

Очевидно, что математическое ожидание центрированного случайного процесса равно нулю:

Для того чтобы каким-то образом учесть степень разбросанности реализаций случайного процесса относительно его среднего значения, вводят понятие дисперсии случайного процесса, которая равна математическому ожиданию квадрата центрированного случайного процесса:

Дисперсия случайного процесса является неслучайной (регулярной) функцией времени Dx(t) значение которой в каждый момент времени tk равно дисперсии соответствующего сечения X(tk) случайного процесса.

Легко показать, что математическое ожидание mx(t), дисперсия  Dx(t)  и среднее значение квадрата случайного процесса, имеющие размерность квадрата случайной величины, связаны соотношением

Откуда видно, что среднее значение квадрата случайного процесса  в определенной мере учитывает и среднее значение случайного процесса, и степень рассеяния его реализаций относительно этого среднего значения.

На практике часто бывает удобно пользоваться статистическими характеристиками случайного процесса, имеющими ту же размерность, что и сама случайная величина. К таким характеристикам относят:

среднее квадратическое значение случайного процесса

равное арифметическому значению квадратного корня из среднего значения квадрата случайного процесса;

среднее квадратическое отклонение случайного процесса

равное арифметическому значению квадратного корня из дисперсии случайного процесса.

Из вышесказанного видно, что среднее квадратическое значение хс.к(t) и среднее квадратическое отклонение σx(t) случайного процесса в общем случае не совпадают. Последняя характеристика используется только для центрированных случайных процессов.

В заключение заметим, что хотя ни математическое ожидание, ни дисперсия случайного процесса ни в какой мере не характеризуют степень статистической зависимости между сечениями случайного процесса в различные моменты времени, знания этих характеристик часто достаточно для решения многих задач.

Корреляционные функции случайных процессов

Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Это хороню видно из рис. 9.3, где показаны реализации двух случайных процессов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имеющих

одинаковые значения математического ожидания и дисперсии. Штриховыми линиями на рис. 9.3 показаны значения  3σx(t) для случайных процессов.

Процесс, изображенный на рис. 9.3, а, от одного сечения к другому протекает сравнительно плавно, а процесс на рис. 9.3, б обладает сильной изменчивостью от сечения к сечению Поэтому статистическая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожиданию, ни по дисперсииэтого установить нельзя.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т. е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса.

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов Rx(t1;t2)которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t1; и t2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин Ẋ(t1) и Ẋ(t2)  соответствующих сечений случайного процесса:

где ω2(x1,t1;x2,t2) — двумерная плотность вероятности;

 — центрированный случайный процесс;  mx(t)  —математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса.

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Разделяют стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс X(t), если его n-мерные функции распределения и плотности вероятности при любом n не зависят от сдвига всех точек t1,t2,…,tn вдоль оси времени на одинаковую величину   т. е.

Это означает, что два процесса X(t) и X(t+ ) имеют одинаковые статистические свойства для любого   т. е. статистические характеристики стационарного случайного процесса неизменны во времени.

Стационарный случайный процесс — это своего рода аналог установившегося процесса в детерминированных системах. Любой переходный процесс не является стационарным.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс X(t),  математическое ожидание которого постоянно:

а корреляционная функция зависит только от одной переменной — разности аргументов  = t2 – t1; при этом корреляционную функцию обозначают

Процессы, стационарные в узком смысле, обязательно стационарны и в широком смысле; однако обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n-мерную плотность вероятности.

Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен, но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают сколько-нибудь существенно измениться. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будут рассматриваться случайные процессы, стационарные в широком смысле.

При изучении случайных процессов, стационарных в широком смысле, можно ограничиться рассмотрением только процессов с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю, т. е. mx(t) = 0, так как случайный процесс с ненулевым математическим ожиданием представляют как сумму процесса с нулевым математическим ожиданием и постоянной неслучайной (регулярной) величиной, равной математическому ожиданию этого процесса .

При mx(t) = 0 выражение для корреляционной функции

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении — это среднее значение по множеству (или математическое ожидание), которое определяется на основе наблюдения над множеством реализаций случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени t.

Другое понятие о среднем значении — это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса x(t) на протяжении

Рис. 9.4

достаточно длительного времени Т. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле:

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс. Вообще говоря, для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени значения различны. Однако существует класс стационарных случайных процессов, называемых эргодическими, для которых среднее по множеству равно среднему по времени, т. е.

Корреляционная функция Rx( ) эргодического стационарного случайного процесса X(t) неограниченно убывает по модулю при │ │→∞

Однако надо иметь в виду, что не всякий стационарный случайный процесс является эргодическим, например случайный процесс X(t), каждая реализация которого xi(t) постоянна во времени (рис. 9.4), является стационарным, но не эргодическим. В этом случае средние значения, определенные по одной реализации и в результате обработки множества реализаций, не совпадают. Один и тот же случайный процесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним статистическим характеристикам и неэргодическим по отношению к другим. В дальнейшем будем считать, что по отношению ко всем статистическим характеристикам условия эргодичности выполняются.

Свойство эргодичности имеет очень большое практическое значение. Для определения статистических свойств некоторых объектов, если трудно осуществить одновременное наблюдение за ними в произвольно выбранный момент времени (например, при наличии одного опытного образца), его можно заменить длительным наблюдением за одним объектом. Иными словами, отдельная реализация эргодического случайного процесса на бесконечном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесконечными реализациями. Собственно говоря, этот факт лежит в основе описанного ниже метода экспериментального определения корреляционной функции стационарного случайного процесса по одной реализации.

Как видно из определения, корреляционная функция представляет собой среднее значение по множеству. Для эргодических случайных процессов корреляционную функцию  Rx можно определить как среднее по времени от произведения [x(t) - ] и  [x(t+ ) - ], т. е.

где x(t) — любая реализация случайного процесса; - среднее значение по времени, определяемое по

.

Если среднее значение случайного процесса равно нулю  = 0, то

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию  Dx определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса, т. е.

Сравнивая выражения  Rx( ) и  Dx при  =0, можно установить очень важную связь между дисперсией и корреляционной функцией — дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению корреляционной функции:

Из этого видно, что дисперсия стационарного случайного процесса постоянна, а следовательно, постоянно и среднее квадратическое отклонение:

Статистические свойства связи двух случайных процессов X(t) и G(t) можно характеризовать взаимной корреляционной функцией Rxg(t1,t2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов t1 и t2 равна

Для эргодических случайных процессов вместо этого можно записать

где x(t) и g(t)— любые реализации стационарных случайных процессов X(t) и G(t), соответственно.

Взаимная корреляционная функция Rxg( ) характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов X(t) и G(t) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени  . Значение  Rxg(0)характеризует эту связь в один и тот же момент времени.

Из предыдущего выражения следует, что

Если случайные процессы  X(t) и G(t) статистически не связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная корреляционная функция для всех   равна нулю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Заметим, что корреляционные функции могут вычисляться и для неслучайных (регулярных) функций времени. Однако когда говорят о корреляционной функции Rx( ) регулярной функции x(t), то под этим понимают просто результат формального

применения к регулярной функции x(t) операции, выражаемой интегралом:

Приведем некоторые основные свойства корреляционных функций Rx( ).

1. Начальное значение корреляционной функции  равно дисперсии случайного процесса:

2. Значение корреляционной функции при любом   не может превышать ее начального значения, т. е.

Чтобы доказать это, рассмотрим очевидное неравенство   из которого следует  .

Находим средние значения по времени от обеих частей последнего неравенства:

Таким образом, получим неравенство Rx(0) ≥  │Rx( )│ .

3. Корреляционная функция есть четная функция  , т. е.

Это вытекает из самого определения корреляционной функции. Действительно,

поэтому на графике корреляционная функция всегда симметрична относительно оси ординат.

4. Корреляционная функция суммы случайных процессов 

Z(t) = X(t) + G(t) определяется выражением

где Rxg( ) и Rgx( ) — взаимные корреляционные функции

Действительно,

5. Корреляционная функция постоянной величины x(t)= А0 равна квадрату этой постоянной  , что вытекает из самого определения корреляционной функции:

6. Корреляционная функция периодической функции, например   представляет собой косинусоиду, т. е.

имеющую ту же частоту  , что и  x(t), и не зависящую от сдвига фазы  .

Чтобы доказать это, заметим, что при нахождении корреляционных функций периодических функций x(t)можно использовать следующее равенство:

где   — период функции x(t).

Последнее равенство получается после замены интеграла с пределами от —Т до Т при Т→∞ суммой отдельных интегралов с пределами от (k-1)T0 до kT0,

где k =0, 1, 2,….. n  и использования периодичности подынтегральных функций.

Тогда, учитывая сказанное выше, получим т.

7. Корреляционная функция временной функции, разлагаемой в ряд Фурье:

Рис. 9.6.

имеет на основании изложенного выше следующий вид:

8. Типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет вид, представленный на рис. 9.6. Ее можно аппроксимировать следующим аналитическим выражением:

Эргодичность случайного процесса

http://stu.alnam.ru/book_in_stat1-25

Эргодичность — специальное свойство изменяющейся (динамической) системы, состоящее в том, что в процессе эволюции системы почти каждая точка её с определённой правильностью проходит вблизи любой другой точки системы. Иными словами, система «забывает» своё начальное состояние и ведёт себя хаотически.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. С другой стороны, долгосрочное предсказание эргодических систем невозможно — небольшая ошибка измерений приведёт к серьёзному расхождению реальной траектории с предсказанной.

Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.

Свойство эргодичности, о котором далее пойдет речь, важно потому, что при его наличии имеют место чрезвычайно существенные соотношения между функцией распределения  и временем пребывания случайной функции  ξ(t)  в определенном интервале значений, между статистическими средними и средними по времени.

Функции распределения, согласно «аксиоме измерения» вероятности, имеют статистический смысл. Это относительные частоты в ансамбле одинаковых систем, т. е. систем, в каждой из которых воспроизведены одни и те же условия протекания данного случайного процесса и одни и те же способы его регистрации или наблюдения. Если, например, речь идет о флуктуациях, то одинаковыми должны быть макроскопические характеристики всех систем, составляющих ансамбль. Имея ансамбль систем, мы располагаем обширным набором реализаций рассматриваемой случайной функции ξ(t) и с помощью соответствующих вероятностей, т. е. распределений систем ансамбля по возможным значениям ξ(t) можем находить м.о. ξ(t), φ(t1.t2) и т. д.

Теоретики любят оперировать с ансамблями, но у экспериментаторов обычно одна лаборатория и одна установка, а не1e6 или 1e9. За данный промежуток времени (0 -T) экспериментатор может получить лишь одну реализацию интересующего его случайного процесса и предпочитает поэтому усреднять по времени, пользуясь одной реализацией  ξ(t) одной осциллограммой или аналогичным образцом. Спрашивается, в каком соотношении находятся эти способы усреднения — по времени и по ансамблю?

Забегая вперед, укажем уже теперь, что для стационарных процессов, обладающих свойством эргодичности, оба способа усреднения при достаточно больших Т практически совпадают, так как в этом случае стационарная вероятность состояния равна относительному времени пребывания системы в данном состоянии. Соответственно среднее статистическое равно среднему по достаточно большому промежутку времени. Говоря «равно» или «совпадает», мы, конечно, допускаем неточность, так как речь идет лишь о вероятностной сходимости — по вероятности, в среднем квадратичном или почти наверное.

Эти утверждения более точно сформулированы и доказаны в ряде работ.

(*)

где рT(x) дается формулой «эффективной» плотности вероятности

Первый интеграл в (*) это эмпирическая величина, получаемая в результате определенной обработки осциллограммы  f[ξ(t)] в интервале (0 – T). Вместе с тем это случайная величина, различная для разных реализаций ξ(t)

в интервале (0 – T), а  ω1(t,x) - одномерная и плотность вероятностей ξ(t).

Можно сказать, что это закон больших чисел в применении к непрерывному наблюдению.

Рис. 9.

Докажем теперь, что при условии того, что имела место сходимость в среднем квадратичном, относительное время пребывания ξ(t) в промежутке (x,x+dx) сходится по вероятности при T→ ∞ к p∞(x)dx, где

если, конечно, этот предел  существует. Относительным временем пребывания называется отношение суммарного времени T(x,x+dx) , проведенного ξ(t) в промежутке (x.x+dx), т. е. суммы всех отмеченных на рис. 9 жирной линией отрезков оси абсцисс от момента 0 до момента Т, к полной продолжительности интервала Т.

Теорема же (*) принимает теперь вид

(**)

Все сказанное справедливо для случайного процесса f[ξ(t)],  удовлетворяющего условию сходимости в среднем квадратичном - так называемому условию эргодичности этого процесса. Необходимое и достаточное условие сходимости в среднем квадратичном можно заменить более сильными требованиями — достаточными условиями эргодичности, которые в приложениях теории большей частью оказываются выполненными. Например, условие сходимости в среднем квадратичном будет удовлетворено, если функция корреляции  всюду ограничена и при всяком t убывает с увеличением ∆t.

Лекции 20,21 Определение средней долговечности при действии циклических напряжений со случайными амплитудами

Расчет на прочность при нерегулярной переменной нагруженности

Определение долговечности при нерегулярном нагружении производится обычно по следующей схеме. На первом этапе устанавливаются характеристики уровня нагруженности детали или элемента конструкции в виде функции распределения амплитуд эксплуатационных напряжений. В наиболее общем случае широкополосного процесса схематизацию случайного процесса с целью построения функции распределения амплитуд напряжений, эквивалентных случайному процессу по степени усталостного повреждения, производят одним из известных методов: максимумов, экстремумов, размахов, полных циклов, «дождя» и др. Метод полных циклов, например, дает, как принято считать, наряду с методом «дождя» наиболее приемлемые результаты для оценки долговечности при нерегулярном нагружении. Полученные величины амплитуд напряжений располагают в возрастающем порядке, образуя вариационный ряд амплитуд. По величинам амплитуд напряжений и соответствующим ординатам наносят точки на график и проводят через эти точки линию. На основании анализа опытных данных, обработка осциллограмм случайного процесса весьма часто приводит к эмпирическим функциям распределения амплитуд напряжений существенно отличающихся от нормального или какого-либо другого из известных законов распределения. Теоретический закон распределения амплитуд напряжений зависит от метода схематизации эксплуатационных нагрузок и во многих случаях оказывается трудно определимым.

Расчет на прочность при нерегулярной переменной нагруженности предполагает использование той или иной гипотезы накопления повреждений.

Например, корректированная линейная гипотеза накопления усталостных повреждений имеет следующий вид:

                                                                                            (15.183)

где   - количество циклов действия данной амплитуды переменных напряжений   за срок службы N_0.5;

 - долговечность до разрушения или до образования трещины заданного размера при действии амплитуды   (определяется по кривой усталости детали);

 - корректированная сумма повреждений при действии всех повреждающих амплитуд переменных напряжений.

Значение   определяется в зависимости от вида функции распределения действующих напряжений по следующей формуле:

                                                                       (15.184)

где   - элементарная вероятность попадания амплитуд в бесконечно малый диапазон

                                                                          (15.185)

,   - функции распределения и плотности распределения действующих переменных амплитуд соответственно.

Профессором Когаевым В.П. получена формула для определения величины  , которая зависит от особенностей спектра эксплуатационной переменной нагрузки:

                                                                                           (15.186)

где  - максимальная амплитуда действующих напряжений; u – предел выносливости образца бесконечно большого диаметра или предельное повреждающее напряжение, принимаемое равным приблизительно половине предела неограниченной выносливости гладких лабораторных образцов стандартного размера:

                                                                                                (15.187)

                                                                         (15.188)

Интегрирование в формуле (15.183) ведется по всем амплитудам вплоть до максимальной амплитуды действующего спектра или блока нагружения, превышающим предел неограниченной выносливости материала детали или элемента конструкции  . Интегрирование в формуле (15.188) ведется по амплитудам, превышающим предельное повреждающее напряжение u. Схема расчета долговечности до разрушения иллюстрируется рисунком 15.51.

 

Рис. 15.51. Схема к расчету долговечности при нерегулярном переменном нагружении

Окончательная формула для определения оценки среднего срока службы детали или долговечности до разрушения (образования трещины заданного размера) имеет на основании уравнений (15.183)-(15.188) следующий вид:

                                                                      (15.189)

 

Таким образом, для определения средней долговечности при нерегулярном переменном нагружении необходимо, во-первых, знать функцию распределения действующих напряжений, которая оценивается по результатам анализа спектра эксплуатационной переменной нагрузки одним из известных методов схематизации (метод размаха, максимумов, полных циклов и т.п.), во-вторых, иметь кривую усталости детали при регулярном переменном нагружении для определения долговечности, стоящей в знаменателе формулы (15.189).

Этого недостаточно для определения функции распределения долговечности при нерегулярном нагружении, которая представляет особый интерес в связи с необходимостью расчета гарантированного ресурса для ответственных деталей и элементов конструкций авиационной техники. С этой целью для оценки долговечности при нерегулярном нагружении, соответствующей вероятности разрушения  , в формуле (15.189) вместо медианной (p=0,5) долговечности   должна использоваться долговечность   (квантиль долговечности), соответствующая вероятности p, которая определяется по кривой усталости заданной вероятности разрушения (квантильной кривой усталости).

                                                                                  (15.190)   

Рис. 15.52. График функции распределения долговечности до разрушения при нерегулярном переменном нагружении

При варьировании величиной p получим функцию распределения долговечности до разрушения при нерегулярном переменном нагружении, общий вид которой представлен на рисунке 15.52.

 

Пример 3.

Построить функцию распределения долговечности до разрушения детали из алюминиевого сплава при нерегулярном нагружении, заданном распределением амплитуд спектра эксплуатационной нагрузки в соответствии с законом Рэлея:

,

где параметр s=30 МПа, максимальная амплитуда  =100 МПа. Эта функция представлена на рисунке 15.53.

Пусть медианная кривая усталости детали при симметричном цикле имеет следующий вид:

                                                                             (15.191)

где параметры   и A равны соответственно 50 и 1000 МПа.

Для расчета медианы долговечности достаточно этих данных. Для построения всей функции распределения необходимо располагать также параметрами квантильных кривых усталости, то есть кривых усталости, построенных по параметру вероятности разрушения. Так как построение семейства таких кривых требует большого числа экспериментальных данных, что не всегда возможно при длительных усталостных испытаниях, в первом приближении для вычисления квантили долговечности при регулярном нагружении воспользуемся известным приближением функции распределения логарифма долговечности на основании нормального закона:

,

где lgN_0.5 определяется по уравнению медианной кривой усталости, а среднее квадратическое отклонение примем постоянным и равным  =0,15, что в первом приближении подтверждается большим числом экспериментальных данных усталостных испытаний деталей, элементов авиаконструкций и конструктивно подобных образцов из алюминиевых сплавов;   - квантиль нормированного нормального закона распределения, соответствующая вероятности p. Тогда уравнение (15.190) для определения функции распределения ресурса при нерегулярном нагружении примет следующий вид:

                                                       (15.192)

.   

Рис. 15.53. Функция плотности распределения амплитуд спектра эксплуатационной нагрузки

 

Проведенный расчет функции распределения долговечности при нерегулярном переменном нагружении представлен в таблице 15.2.

В таблице 15.2 для примера представлен также расчет логарифма долговечности при той же нагруженности, но по степенному уравнению кривой усталости с нулевым значением предела неограниченной выносливости:

                                                                                                    (15.193)

где параметр m=4, С=10^3,5. На рисунке 15.54 построены графики этих функций на нормальной вероятностной бумаге.

                                        (15.194)

.

Отметим, что при расчете по уравнению (15.192) значение   составило 0,283, а при расчете по уравнению (15.194) – 0,373. Кривые усталости для двух рассматриваемых в примере вариантов представлены на рисунке 15.55.

 

Таблица 15.2. Расчет функции распределения логарифма долговечности при нерегулярном нагружении

P	0.01	0.05	0.1	0.2	0.3	0.5	0.7	0.8	0.9	0.95	0.99
(15.192)	5.74	5.842	5.896	5.962	6.01	6.089	6.167	6.215	6.281	6.335	6.437
(15.194)	6.45	6.552	6.607	6.673	6.72	6.799	6.878	6.925	6.991	7.046	7.148

 

Основой расчета долговечности при нерегулярной нагрузке, как видно из рассмотренных выше примеров, является обоснование уравнения кривой усталости детали при регулярном нагружении. Наиболее надежным способом обоснования такой кривой усталости являются прямые усталостные испытания натурных деталей с последующей статистической обработкой их результатов. Как показывают расчеты для достижения достаточной точности оценивания характеристик усталостных свойств при усталостных испытаниях требуется порядка 30-50 объектов, что в условиях натурных испытаний является практически нереальным.

 

Рис. 15.54. Расчетные функции распределения логарифма долговечности при нерегулярном нагружении

по уравнениям (15.192) (линия 1), (15.194) (линия 2)

Рис. 15.55. Кривые усталости детали при симметричном нагружении, построенные

по уравнениям (15.192) (кривая 1), (15.194) (кривая 2)

 

Опыт показывает, что гипотеза линейного суммирования позволяет достаточно точно определить долговечность, если все амплитуды превышают предел выносливости материала детали и отсутствуют резкие всплески напряжений. Кроме того, опытами показано, что линейное суммирование повреждений подтверждается при монотонном увеличении амплитуд с ростом числа циклов, и действует иной закон накопления повреждений, если сначала приложить циклическую нагрузку с амплитудами, близкими к пределу текучести материала.

Таким образом, на долговечность существенно влияет история нагружения. Экспериментально установлено, что образец, нагруженный сначала циклическими напряжениями, меньшими предела выносливости, при дальнейшем повышении амплитуд малыми порциями показывает большую долговечность, чем исходная. В то же время предварительно перенапряжение образца циклическими напряжениями выше предела выносливости приводит к противоположным результатам. Однако вредное влияние перенапряжения начинает сказываться только после некоторого предельного числа циклов перенапряжения, зависящего от величины этих напряжений.

При случайном изменении амплитуд напряжений явления усталостного упрочнения и разупрочнения будут чередоваться и отчасти нивелироваться, что оправдывает в известной степени применение гипотезы накопления повреждений к таким нерегулярным режимам изменения напряжений.

Любой теоретический подход к проблеме долговечности конструкции при нерегулярном изменении напряжений требует экспериментальной проверки теоретических методов.

В настоящее время исследования проводятся по двум основным направлениям. Одно из них состоит в испытании непосредственно конструкций по программе нагружения, возможно ближе подходящей к экспериментально определенному спектру нагрузок.

Другое направление исследования состоит в испытании лабораторных образцов по различным ступенчатым программам циклического нагружения, в которых изменяется последовательность чередования нагрузок разной интенсивности с различным количеством циклов их действия. Исследуется влияние параметров нагрузки на долговечность образцов и полученные закономерности используются для оценки долговечности конструкций.

 Спектральные плотности случайных процессов

При исследовании стационарных случайных процессов  удобно пользоваться еще одной характеристикой стационарного случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Во многих случаях, особенно при исследовании динамики сооружений, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция. Спектральная плотность Ṡx(ω) случайного процесса X(t) определяется как преобразование Фурье для корреляционных функций Rx(τ), т. е.

Если воспользоваться формулой Эйлера  , то это можно представить как

Так как  - нечетная функция τ, то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что  - четная функция τ, получаем

Так как cosωτ = - cosωτ , то следует, что

Таким образом, спектральная плотность   является действительной и четной функцией частоты ω. Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:

Используя это выражение и первое свойство корреляционных функций, можно установить важную зависимость между дисперсией Dx и спектральной плотностью   случайного процесса:

Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение амплитуд того или иного параметра случайного процесса по частотному спектру.

Спектральная плотность может быть найдена экспериментально через среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации случайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие из анализатора спектра и вычислителя среднего значения квадрата амплитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функцию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычисляют по известной корреляционной функции с помощью формул, приведенных выше.

Взаимная спектральная плотность   двух стационарных случайных процессов X(t) и G(t) определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции   т. е.

По взаимной спектральной плотности можно, применяя обратное преобразование Фурье, найти выражение для взаимной корреляционной функции:

Взаимная спектральная плотность   является мерой статистической связи между двумя стационарными случайными процессами:  X(t) и G(t).  Если процессы  X(t) и G(t)  некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.

В отличие от спектральной плотности   взаимная спектральная плотность   не является четной функцией ω и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию.

Иногда в рассмотрение вводят нормированную

спектральную плотность  , являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции :

Нормированная спектральная плотность имеет размерность времени.

Определение средней долговечности при действии циклических напряжений со случайными амплитудами.

Пусть процесс состоит из случайных симметричных циклов нагружений, характеризующихся максимальными напряжениями S в каждом. Используя гипотезу суммирования усталостных повреждений и уравнения кривых усталости N = N(S) при однородном режиме напряжений, когда известны эффективные периоды изменения напряжений и плотности вероятности максимальных значений процесса S(t), то средняя долговечность может быть определена по формуле Болотина В.В. [5]:

Для некоторых других представлений N = N(S) и процессов S(t) в таблице 3 [5] приводятся формулы вычисления средней долговечности. В этих формулах Г(х) – гамма-функция, - функция - распределения Пирсона, протабулированная в различныхработах по курсу теории вероятности. Эффективный период выражают через спектральную плотность Ф(ω) процесса S(t) согласно формуле:

Строго говоря, эти формулы справедливы только для узкополосных стационарных эргодических случайных процессов. Для широкополосных случайных процессов они дают оценку снизу. В работе [10] даются формулы для нестационарных широкополосных случайных процессов. Вычисленная по этим формулам средняя долговечность является условной в том смысле, что она найдена при фиксированных характеристиках прочности. Учет разброса характеристик прочности рассмотрим в следующей лекции.

Узкополосный случайный процесс

Узкополосным называется случайный процесс, спектральная плотность которого существенно отлична от нуля лишь в пределах узкой полосы частот, сосредоточенной вблизи некоторой центральной частоты.

Широкополосный случайный процесс

Широкополосным называется случайный процесс, спектральная плотность которого существенно отлична от нуля в пределах широкой полосы частот относительно некоторой центральной частоты.

Стационарный процесс

Стационарный случайный процесс есть ансамбль реализаций, статистические свойства которого инвариантны по отношению к переносу начала отсчета времени. Стационарный процесс может быть эргодическим или неэргодическим

Эргодический случайный процесс

Эргодическим называется случайный стационарный процесс, для которого результаты усреднения по времени в пределах отдельной реализации одинаковы для всех реализаций. Таким образом, усреднение по времени для любой отдельной реализации эквивалентно соответствующему усреднению по ансамблю реализаций.

Лекции 22,23 Методы вычисления надежности и коэффициентов запаса. Выбор нормативного коэффициента запаса. Коэффициенты запаса в практических расчетах.

Методы вычисления надежности и коэффициентов запаса.

Метод А.Р. Ржаницына

По методу А.Р. Ржаницына [5] условие недопустимости достижения опасного состояния конструкции и основания представляется в форме (рис. 3.2)

                                                                                                        (3.4)

где   функция неразрушимости.

Функция неразрушимости зависит от многих случайных параметров  , и возникающие трудности построения кривых распределений нагрузки и несущей способности (прочности) преодолеваются тем, что эти кривые распределения принимаются за нормальные или логнормальные.

Рис. 3.2. Плотности распределения   и 

Если   и   распределены по нормальному закону, функция распределения плотности вероятностей   имеет вид:

                                                                                        (3.5)

где   и   – математическое ожидание и стандарт для 

При этом

                                                                                                                      (3.6)

                                                                                                   (3.7)

где   – коэффициент корреляции;   центрированная случайная величина    центрированная случайная величина    математическое ожидание для   и    ,  стандарт для   и 

Если   и  независимые случайные величины, то   и  .

Надежность конструкции и основания по прочности определяется характеристикой безопасности   которая является обратной величиной по отношению к коэффициенту  изменчивости распределения:

                                    ,                                                          (3.8)

где   математические ожидания соответствующих распределений;   стандарты распределений;   коэффициент вариации для распределения  .

Определив  , можно оценить вероятность отказа или безотказной работы конструкции и основания с помощью выражений:

                                                                                 (3.9)

                                                                         (3.10)

Здесь   функция Лапласа, значения которой табулированы. При этом необходимо учитывать, что   – нечетная функция, для которой 

Между характеристикой безопасности   и надежностью конструкции и основания   существует зависимость: чем больше величина   тем выше надежность. Например, при     при    при   

Математическое ожидание и стандарт величины   определяются на основании нормативных (средних) значений нагрузок и прочности материала конструкций и грунта основания, коэффициентов вариации   (табл. 2.1), необходимых для определения   по условиям 

При логарифмически нормальном законе распределения   когда    0,15 0,20 характеристика безопасности определяется с помощью выражения

                                                                                      (3.11)

где  ,   коэффициенты вариации соответствующих распределений (табл. 2.1).

А.Р. Ржаницын рассмотрел также расчет надежности конструкций при воздействии нагрузок, представляющих собой случайные процессы [3].

Если совместное распределение случайных параметров   характеризующих нагрузку, условия эксплуатации и внутренние свойства конструкции, отличается от нормального или логнормального, то надежность может быть определена по формуле

                                                                       (3.12)

где   – совместная плотность распределения случайных параметров.

Строго говоря, формулы (3.8)–(3.12) пригодны для случая однократного дискретного нагружения. К таким случаям можно отнести натяжение напрягаемой арматуры железобетонных мостовых конструкций, создание преднапряженных металлических конструкций, воздействие тяжелых монтажных нагрузок на пролетные строения мостов и др.

Для оценки надежности системы основание–сооружение по различным предельным состояниям рассмотрим решение, предложенное Н.Н. Ермолаевым [4]. При этом для дальнейших выкладок неравенство (3.4), заменив в нем буквенные обозначения, представим в виде:

                                                                                                       (3.13)

где   совокупный фактор, являющийся функцией случайных аргументов, определяющих числовые характеристики как "внутреннего" фактора   так и "внешнего" фактора  ;   "внутренний" фактор системы сооружение–основание, характеризующий ее несущую способность или предельно допустимую деформацию;  "внешний" фактор условий работы системы, характеризующий фактически действующие нагрузки при их наиболее невыгодном сочетании и обусловливающий наиболее тяжелые условия работы системы в отношении возможности потери несущей способности грунтовым основанием или появления наибольших деформаций.

Учитывая выражение (3.13) и содержание понятия уровня надежности, соотношение для получения количественного показателя надежности системы основание–сооружение можно представить в виде:

                                                               (3.14)

где   вероятность события, заключающегося в ненаступлении предельных состояний для системы основание–сооружение, численно равная уровню надежности системы.

Так как наибольший практический интерес представляет предельное значение надежности, получаемое при наименьших затратах, то соотношение (3.14) для указанных условий может быть записано в виде:

                                                                (3.15)

Для определения уровня надежности в общем случае необходимо знание плотности   или функции   распределения совокупной величины   являющейся функцией многих случайных аргументов, от которых зависят факторы   и 

Применительно к случайной величине   имеем

                                                                                       (3.16)

Учитывая, что

                                                                                                         (3.17)

а также равенство (3.15), для уровня надежности   получаем:

                                                                                 (3.18)

Как правило, закон распределения фактора   будет в достаточной мере сложным, если учесть множество случайных факторов, стоящих в правой части соотношения (3.13), от которых он зависит. Поэтому Н.Н. Ермолаев использовал приближенное соотношение в виде ряда Шарлье. В общем случае при   учитывая три первых члена ряда, получим

                              ,                                                       (3.19)

где   – нормированная случайная величина   соответствующая случайной величине     плотность нормального распределения случайной величины     интеграл вероятностей (удвоенная функция Лапласа), определяемый для каждого из значений  ;     вторая и третья производные, определяемые по специальным таблицам для каждого заданного значения       третий и четвертый центральные моменты случайной величины совокупного фактора  ;   – среднеквадратическое отклонение фактора  .

Так как для определения уровня надежности  , согласно (3.18),   то по формуле (3.19)

.                       (3.20)

Подставив в соотношение (3.18) выражение для   получаем:

 

          .                                               (3.21)

Учитывая, что   и   являются нечетными функциями, а   четной, получим:

   

Тогда для уровня надежности   получаем следующее выражение:

 

                                      .                                                (3.22)

Вводя коэффициент вариации случайной величины   и обозначая     получим выражение для определения расчетного уровня надежности:

                                                (3.23)

где     асимметрия и эксцесс фактора 

Имея в виду выражение (3.13), для определения числовых характеристик функции  , являющейся разностью двух независимых случайных величин, получаем следующие формулы:

                                                                               (3.24)

где                     соответственно математические ожидания, среднеквадратические отклонения, дисперсии и центральные моменты третьего и четвертого порядка факторов   и   как случайных величин. Указанные числовые характеристики определяются как характеристики функций случайных аргументов, от которых они зависят.

Для практических приложений в проектировании транспортных сооружений чрезвычайно важным является вопрос обеспечения требуемой надежности при возможности варьирования несущей способностью   (“внутренним” фактором  ) в соотношениях (3.4) и (3.13), которые отображают совокупность прочностных или деформативных показателей материала конструкций и грунтов основания, с учетом вида их напряженного состояния и геометрических размеров конструкции и фундамента.

Согласно существу вероятностного толкования понятия надежности, коэффициент запаса   (коэффициент надежности  ) в работе конструкции при расчете на прочность или устойчивость, а также при условии, что   и   распределены по нормальному закону, определяется по формуле (2.5).

Учитывая, что   можно получить условие

                                                                                                      (3.25)

откуда

                                                                                                                   (3.26)

где    математические ожидания соответствующих факторов.

Имея соотношения (3.25), (3.26) и учитывая, что   можно определить характеристику безопасности   по формуле (3.8) через коэффициент запаса   в виде:

                                                                                                            (3.27)

Решая выражение (3.27) относительно коэффициента запаса   получим

                                                                             (3.28)

При логнормальном распределении   и   коэффициент запаса   получит выражение:

                                                           (3.29)

где   характеристика безопасности, определяемая по формуле (3.11).

Уровень надежности   при нормальном и логнормальном распределениях факторов   и   устанавливается по формуле (3.10).

При экспоненциальном законе распределения   и   выражение коэффициента запаса   с использованием условия (2.5), получит следующий вид:

                                                                                              (3.30)

Для оценки уровня надежности   в этом случае получено следующее выражение:

                                                                                              (3.31)

где   интеграл вероятности (функция Лапласа);     вторая и третья производные, определяемые по специальным таблицам [4];   математическое ожидание соответствующих экспоненциальных распределений;   коэффициент вариации совокупного случайного фактора,

При расчете грунтовых оснований на прочность по способу Н.Н. Ермолаева нормированная случайная величина   определяется по аналогии с выражением (3.27) и имеет следующий вид:

                                                                                   (3.32)

Решая соотношение (3.32) относительно   получим:

                                                                         (3.33)

Подставив в правую часть соотношения (3.23) для определения уровня надежности вместо   его выражение (3.32), имеем:

                              .                                                      (3.34)

Как показывают численные расчеты по формулам (3.20), (3.22), (3.23) влияние членов расчетных соотношений для определения надежности, зависящих от третьего и четвертого центрального моментов, обычно не превосходит нескольких процентов. Это влияние тем меньше, чем больше коэффициент запаса и чем меньше коэффициент вариации физико-механических свойств грунтовых оснований. Поэтому для грубых прикидочных расчетов можно использовать указанные формулы без учета третьего и четвертого членов. В этом случае

                                                                 (3.35)

где   удвоенный интеграл Лапласа.

Использование формулы (3.35) равносильно принятию для совокупного фактора   нормального закона распределения.

Использование соотношений (3.10), (3.27); (3.10), (3.29); (3.30), (3.31), (3.34) при различных законах распределения факторов   и   и   позволяет решать следующие практически важные задачи:

1) определять уровень надежности   при заданных коэффициентах запаса  , числовых характеристиках случайных величин   и     и   и их коэффициентах вариации;

2) определять требуемый коэффициент запаса для обеспечения заданного уровня надежности конструкции или грунтового основания при известных числовых характеристиках случайных величин   и   и   и их коэффициентах вариации.

Каждая из указанных задач имеет свою область преимущественного использования. Решение первой задачи представляет большой интерес при оценке уровня надежности существующих эксплуатируемых конструкций и грунтовых оснований сооружений. Решение второй задачи имеет преимущественное значение в стадии проектирования конструкций и грунтовых оснований сооружений.

Способ В.В. Болотина.

В работах [7], [8] предлагается рассматривать определение уровня надежности по следующей схеме. Сначала определяют надежность внутренне детерминированной системы под действием внешних случайных нагрузок, трактуемых как случайный процесс.

Эта надежность P0(r1,r2,…,rn;t), называемая условной надежностью , зависит от параметров r1,r2,…,rn , характеризующихвнутренние свойства системы (механические свойства материалов, начальные дефекты и неправильности). Совместная плотность вероятностей р(r1,r2,…,rn ) для этих параметров должна быть получена путём изучения достаточно больших выборок конструкций. Надежность системы P(t) вычисляют по формуле полной вероятности

Например, когда нагрузка характеризуется одним параметром s(t), изменение которого представляет собой стационарный гауссовский процесс, а отказ наступает при нарушении неравенства R≥S, условная надежность определяется приближенно как

Эта формула дает оценку снизу, пригодную при надёжности, близкой к единице. Если же причиной отказа является усталостное разрушение, то, учитывая малый разброс условной долговечности T0 , можно записать

где T0 определяют, например, как среднюю долговечность:

≈ T0

Выбор нормативного коэффициента запаса.

Инженерный расчет, как правило, носит детерминистический характер.

Условие безотказности R≥S, которое может быть выполнено лишь с некоторой надёжностью Р, заменяют детерминистическими условиями

(*)

Расчетное значение нагрузки и расчетное значение прочности выбирают до некоторой степени произвольно: это могут быть математические ожидания или наиболее вероятные значения, а также математические ожидания максимальных (минимальных) значений.После того как расчетные значения и установлены, нормативный коэффициент запаса выбирают так, чтобы из приведенных выше условий с надёжностью Р вытекало условие R≥S. Отсюда видно, что если параметр внешних сил принимает детеминированное значение, то последнее естественно принять за расчетное. Тогда нормативный коэффициент запаса определяется как

где R(P) – значение параметра прочности, такое, что вероятность осуществления неравенства R≥ R(P) равна надежности P.

При нормальном распределении параметра R, принимая за среднее значение R, получим ,

здесь γ – гауссовский уровень надежности.

В общем случае, когда случайными являются и нагрузки и характеристики прочности, назначение нормативного коэффициента запаса становится весьма сложной задачей, требующей предварительного решения соответствующей задачи надёжности. Ориентировочно можно воспользоваться формулой (*) с учетом связи между надежностью и коэффициентом запаса k, показанной на рис. 3.3. Определяя , как отношение математических ожиданий (минимального значения прочности и максимального значения нагрузки ) за время эксплуатации T,

Рис. 3.3. Схема, иллюстрирующая связь между надежностью и коэффициентом запаса k.

придём к следующей формуле, связывающей нормативный коэффициент запаса с гауссовским уровнем надежности γ

На рис. 3.4 дан график для нормативного коэффициента запаса при .

Нормативный коэффициент запаса существенно зависит от нормативной надежности , которую назначают на основании технико-экономических соображений.

Коэффициенты запаса в практических расчетах.

Рис. 3.4. Зависимость нормативного коэффициента запаса от нормативной надежности и от коэффициентов изменчивости при .

В инженерных нормах в качестве расчетной нагрузки принимают некоторое «максимальное» (т.е. соответствующее некоторой малой вероятности осуществления) значение, а в качестве расчетного сопротивления материала – нижнее значение из технических условий. Выбор этих значений, а также коэффициента запаса в определенной степени произволен: одной и той же надежности могут соответствовать различные коэффициенты запаса. Для того чтобы оценить величину надежности, предусматриваемой нормами, необходим статистический анализ нагрузок, сопротивлений и других параметров, влияющих на поведение конструкции [8].

Диапазоны обычно принимаемых запасов прочности при расчетах от статических нагрузок и нагрузках с небольшим числом циклов 1,5 – 2,5 и 2 - 4 при переменных нагрузках с большим числом циклов.

В строительстве, в авиастроении и других отраслях, где одним из важнейших факторов является общий вес конструкции, логично стремление к обоснованному снижению запасов прочности. Это требует уточнения не только расчетных схем, но и уточнения сведений о нагрузках, условиях работы и механических свойствах материалов. В действующих ныне строительных нормах коэффициент запаса расщепляется по типам нагрузок, неоднородности материалов и условиям работы.

При учете случайного характера всех факторов использование статистических данных часто ограничивает возможности обоснованного снижения запасов прочности всвязи с недостаточной статистикой наблюдений. Поэтому для более обоснованного назначения коэффициентов запаса в настоящее время все шире используются методы моделирования процессов и методы статистического моделирования результатов как случайных величин и случайных процессов.

Лекции 24,25,26 Современные методы моделирования случайных процессов и величин при решении задач строительной механики расчета и проектирования сооружений