1.3.6. Случайные погрешности

Случайная погрешность (∆_сл) – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях данной величины. Примером ∆_сл могут служить погрешности от вариации показаний ИП.

Погрешность ∆_сл возникает вследствие совместного действия большого числа независимых случайных возмущений, каждое из которых оказывает очень малое влияние на результаты измерения. В этом случае предсказать результат отдельного наблюдения и исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины Х находится в пределах разброса результатов измерений от х_min до х_max. Какую из множества лежащих в этой области величин принять за результат измерения, какими показателями характеризовать случайную погрешность результата и какова вероятность появления того или иного значения погрешности? Для ответа на эти вопросы используют методы теории вероятностей и математической статистики.

1.3.7.Оценка результатов измерений

Пусть проведены n измерений величины х и получен ряд значений х₁, х₂,…,х_n. При отсутствии информации о причинах наблюдаемого разброса (нет информации о систематических ошибках, поэтому считают, что они отсутствуют) согласно теории вероятностей наиболее близким к истинному значению Х измеряемой величины является среднее арифметическое из найденных значений:

(10)

При увеличении числа измерений величина должна приближаться к Х, т.е. . Для определения Х необходимо бесконечное число измерений. Но число измерений всегда конечно, поэтому существует вероятность того, что отличается от Х. При оценке возможных отклонений x от Х для некоторой совокупности измерений используется закон возрастания точности при росте числа измерений.

В теории вероятностей для характеристики свойств случайной величины используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Для выявления закона распределения результатов многократных измерений их располагают в порядке возрастания от х_min до х_max, находят размах ряда L=х_max-х_min, делят размах на К равных интервалов, подсчитывают количество результатов, попавших в каждый интервал (n_i) и строят гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов измерений. На рис.10 показана гистограмма (рис.10 б), построенная на основании результатов 50 измерений, сгруппированных в таблице (рис.10 а). Приняв общую площадь, ограниченную контуром гистограммы и осью абсцисс за единицу (S_o=1), можно определить относительную частоту попаданий результатов наблюдений в тот или иной интервал как отношение площади соответствующего прямоугольника шириной Δl к общей площади. При этом сумма частот результатов будет равна единице.

При n→∞ и Δl→0 ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую f(x) (рис.10 в), называемую кривой плотности распределения случайной величины, для которой

			(11)
а)	б)	в)

Рис.10.Построение кривой распределения случайной величины: а) таблица измерений, б) гистограмма распределения, в) кривая распределения.

Уравнение, описывающее кривую, называется дифференциальным законом распределения. Этот закон дает полную информацию о свойствах случайной величины. Вероятность Р попадания случайной величины в интервал от х₁ до х₂

(12)

Графически эта вероятность выражается отношением площади, лежащей под кривой f(х) в интервале от х₁ до х₂ к общей площади, ограниченной кривой распределения.

Распределения результатов измерений, как правило, бывают симметричными относительно центра распределения, поэтому значение Х может быть определено как координата центра рассеивания х_ц, т.е. центра симметрии распределения погрешности Δ_сл. (при условии, что Δ_с исключена). Отсюда следует оценка Δ_сл. в виде интервала, симметричного относительно результата измерения: х_ц±Δх. Координата х_ц может быть найдена несколькими способами. В частности, она может быть определена как математическое ожидание (среднее значение) случайной величины ( ).

В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с нормальным распределением плотности вероятностей. В аналитической форме нормальный закон распределения выражается формулой

(13)

где х – случайная величина, m_х – ее математическое ожидание (среднее значение),  – среднее квадратичное отклонение. Форма такой кривой распределения изображена на рис. 11 а.

Рис.11.Кривые нормального распределения.

При переносе начала координат в центр распределения m_х и откладывании по оси абсцисс погрешности х=х-m_х получим кривую нормального распределения погрешностей (рис. 11, б), для которой

(14)

На рис. 11,б показано, что вероятность появления погрешностей, укладывающихся в интервал от 0 до х₁, характеризуемая площадью, S₁ будет значительно больше, чем вероятность появления погрешностей в таком же по величине интервале от х₂ до х₃ (площадь S₂) .

Для группы из n наблюдений, распределенных по нормальному закону

	(15)
	(16)

где S_n – среднее квадратичное выборочное для n измерений.

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения обычно используют интервальные (квантильные) оценки. Квантилями называются абсциссы вертикальных линий, разделяющих кривую плотности распределения случайных погрешностей на части. Так на рис.12а Δx₁ есть 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой f(Δx) слева от нее составляет 25% всей площади. Абсцисса Δx₂ соответствует 75%-ной квантили. Между Δx₁ и Δx₂ заключено 50% всех возможных значений Δ_сл, а остальные лежат вне этого интервала.

а)	б)

Рис.12.Квантильные оценки и доверительные интервалы

Квантильная оценка погрешности Δ_сл представляется интервалом между двумя разными квантилями, на котором с заданной вероятностью P встречаются P∙100% всех возможных значений Δ_сл. Границы интервала принято указывать симметричными относительно результата измерения (х). Интервал с границами ±Δx называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.

Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности, могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности доверительными границами необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности (например Δx = ±0,3мм при P = 0,95).

Доверительные границы случайной погрешности Δx(P), соответствующие доверительной вероятности P, находят по формуле:

Δx(P) = tσ,

где t – коэффициент, зависящий от P и формы закона распределения.

Таблица 1. Доверительные интервалы и доверительные вероятности

tσ	Р
±1σ	0,68
±2σ	0,95
±3σ	0,997
±4σ	0,999

На графике нормального распределения погрешностей (рис.12 б) по оси абсцисс отложены интервалы с границами ±σ, ±2σ, ±3σ, ±4σ. Доверительные вероятности для этих интервалов приведены в таблице 1. Как видно из этой таблицы, оценка случайной погрешности группы наблюдений интервалом ±1σ соответствует доверительной вероятности 0,68. Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, поскольку 32% от всего числа наблюдений может выйти за пределы указанного интервала, что совершенно неприемлемо при однократных измерениях и дезинформирует потребителя измерительной информации. При технических измерениях в целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками доверительная вероятность принимается равной 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений (важных, например для безопасности и здоровья людей) допускается применять большее значение P.

На основе закона сложения случайных ошибок доказано, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной ошибке погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений, т.е.

(17)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что для повышения точности измерений в два раза нужно сделать вместо одного четыре измерения, в три раза – девять измерений и т.д. Следует подчеркнуть, что закон справедлив лишь в тех случаях, когда точность результата измерения полностью определяется случайной ошибкой.

На практике следует строго разграничивать применение средней квадратичной ошибки отдельного измерения (S_n) и среднего арифметического ( ). Величина S_n используется для оценки точности применяемого метода измерения, а для оценки погрешности числа , полученного в результате всех проведенных измерений. Определив для данной серии измерений значения и , можно записать окончательный результат в виде

при Р=0,95,

(18)

т.е. с вероятностью Р=0,95 найденное значение "х" не отличается от истинного "Х" более, чем на .