Разбор типовых вариантов заданий №15 егэ по математике профильного уровня
Решите неравенство:
Необходимо сделать замену: 3x = t, тогда наши действия выглядят следующим образом:
Отсюда мы получаем:
t≤3
5 < t < 9,
Подставляя 3x = t, получаем ответ:
x≤1
log 35 < x < 2
Разбор типовых вариантов заданий №16 егэ по математике профильного уровня
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Собственно, для полноты картины приведем чертеж:
а) Первая часть достаточно простая.
Обозначим центры окружностей О1 и О2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает АВ в точке М. По свойству касательных, проведенных из одной точки, АМ = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD перпендикулярна AB. Аналогично, получаем, что BC перпендикулярна AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а вторая – радиус 1. Треугольники ВKC и AKD подобны, и коэффициент подобия равен 4. Для площадей же коэффициент равен 16.
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно площадь AKB равна 4S. Аналогично, площадь CKD равна 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к АD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдем его из прямоугольного треугольника О2НО1:
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и площадь AKB = 3,2
Ответ: 3,2
Разбор типовых вариантов заданий №17 егэ по математике профильного уровня
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей.
Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0
Пусть k = 1 + r/100 (1- это 100%, а r/100 - это перевод процентов в часть), тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
k-0,6 ; 0,6k-0,4 ;0,4k-0,3 ; 0,3k-0,2 ; 0,2k-0,1 ; 0,1k
Общая сумма выплат составляет:
k(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)-(0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)=(k-1)(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)+1=2,6(k-1)+1
По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей - составляем обыкновенное неравенство:
2,6(k-1)+1<1,2
Подставляя k = 1 + r/100 и находя r, получаем ответ: 7%