Разбор типовых вариантов заданий №18 егэ по математике профильного уровня
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система:
имеет единственное решение.
Как я и говорил,
мы имеем дело с системой, а именно двумя
уравнениями окружности, которые нам
необходимо проанализировать. Итак, если
x больше ноля, то уравнение задаёт
окружность ω1
с центром в
точке C1
с радиусом 3, а если x меньше ноля, то оно
задаёт окружность
ω2 с центром
в точке C2
(смотрите рисунок ниже).
При положительных значениях а второе уравнение задаёт окружность ω с центром С в точке радиусом а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения а, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2.
Для этого, из точки С проведем луч СС1 и обозначим через А1 и В1 точки его пересечения с окружностью ω1, где А1 лежит между С и С1. Получаем:
При a < CA1 или a > CB1 окружности не пересекаются.
При CA1 < a < CB1 окружности имеют две общие точки.
При а = CA1 или a = CB1 окружности касаются.
Из точки С проведем луч СС2 и обозначим через А2 и В2 его точки пересечения с окружностью ω2, где А2 лежит между С и С2.
При a < CA2 или a > CB2 окружности не пересекаются.
При CA2 < a < CB2 окружности имеют две общие точки.
При а = CA2 или a = CB2 окружности касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой.
Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1 , то нашему условию удовлетворяют только a = 2 и a = √65+3
Ответ: 2, √65+3
Разбор типовых вариантов заданий №19 егэ по математике профильного уровня
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.
Сколько чисел написано на доске?
Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому:
4k – 8l + 0·m = –3(k + l + m)
Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m – количество целых чисел, которые делятся на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, на доске написано 44 числа.
Приведём равенство 4k – 8l = –3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥ 0, получаем, что 5l ≥7k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k – 8l = –3(k + l +m): 4k – 8l = –132, откуда k = 2l – 33. Так как k + l ≤ 44, получаем: 3l – 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l – 33 ≤ 17, то есть положительных чисел не более 17.
Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число –8 и 2 раза написан 0. Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: 1 - 44; 2 - отрицательных; 3 - 17.