2. Теоремаларды дәлелдеу

   1. Қажетті шартжәне жеткілікті шарттар

Теорема ұғымы «қажетті шарт» және «жеткілікті шарт» ұғымдарымен, ал тура және кері теоремалар ұғымдары, «қажетті және жеткілікті шарттар» ұғымдарымен тығыз байланысты.

Мектеп математикасында «қажет шарттарды», «жеткілікті шарттарды» және «қажетті және жеткілікті шарттарды» қамтитын теоремалар жиі кездеседі.

1. Егер натурал сан жұп болса, онда ол 4 – ке бөлінеді.

2. Егер натурал сан 4 – ке бөлінсе, онда ол жұп сан болады.

3. Егер натурал сан 9 – ға бөлінсе, онда ол санның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінеді.

4. Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінсе, онда ол сан 9 – ға бөлінеді.

Осы сөйлемдердің әрқайсысы логика тілінде былай жазылады:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Бұл сөйлемдерді былай да тұжырымдауға болады:

1. Натурал сан жұп сан болуы үшін, оның 4 – ке бөлінуі жеткілікті.

2. Натурал сан 4 – ке бөліну үшін, оның жұп сан болуы қажетті.

3. Натурал сан 9 – ға бөлінуі үшін, оның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінуі үшін, сол санның 9 – ға бөлінуі қажетті және жеткілікті.

4. Натурал сан цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінуі үшін, оның сол санның 9 – ға бөлінуі қажетті және жеткілікті.

Осы сөйлемдердеР₁пікірінің ақиқат болуы үшін, пікірі қажетті шарт, ал пікірініңақиқат болуы үшін,Р₁пікірі жеткілікті шарт. пікірінің ақиқат болуы үшін, Р₂пікірі қажетті және жеткілікті шарт, осы сияқты, Р₂пікірінің ақиқат болуы үшін, пікірі қажеттішарт және жеткілікті шарт болып болып табылады.

Жалпы жағдайда егер ақиқат болса, онда үшін пікірі қажетті шарт деп аталады. Ал егер ақиқат болса, онда үшін пікірі жеткілікті шарт деп аталады.

Алайда шарт жеткілікті болып, қажетті болмауы және керісінше, шарт қажетті болмауы және керісінше, шарт қажетті болып, жеткілікті болмауы да мүмкін. Мәселен,

1. Мысалда Р₁ – дің ақиқаттығынан – дің ақиқаттығы шығады, бірақ – дің ақиқаттығы басқа бір Р₃ шарттан да шығуы мүмкін. Мысалы, натурал сан жұп болу үшін 4 – ке немесе 2 – ге, болмаса 6 – ға бөлінуі жеткіліксіз;

2. Мысалды Р₁ – дің ақиқаттығынан – дің ақиқаттығы шығады және де ақиқат болғанымен, Р₁ жаллған болуы да мүмкін. Мәселен, натурал сан 4 – ке бөліну үшін, оныңижұп сан болуы қажетті, бірақ жеткіліксіз, өйткені 10 – жұп сан болғанымен, 4 – ке бөлінбейді.

Оқушылардың материалды жете түсінуіне қиындық туғызатын ұғымдардыңбірі–қажеттіжәнежеткіліктішарттар. Егер эквиваленттік шарты ( орындалса, онда Р шарты үшін қажетті және жеткілікті деп атайды. «Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9 – ға бөлінсе, ол сан 9 – ға бөлінеді деген сөйлем қажетті және жеткілікті шартты білдіреді.

Қажетті және жеткілікті шарттың өзі, тура теорема мен оған кері теореманың дұрыстығын көрсетеді. Сондай – ақ, керісінше, тура және кері теоремалардың дұрыстығы қажетті және жеткілікті шарттарды тағайындауға мүмкіндік береді.

Трапецияның өзімізге белгілі аныұтамасын қарастырайық: «Трапеция деп қарама – қарсы екі қабырғасы параллель төртбұрышты айтады».

Осы анықтамадан трапецияның қасиетін көрсететін мынадай тұжырымдар жасауға болады:

1. Трапецияның төрт төбесі бар;

2. Трапецияның төрт бұрышы бар;

3. Трапецияның параллель екі қабырғасы бар.

Дегенмен, трапецияның алғашқы екі қасиеті төртбұрыштардың басқа

түрлеріне де тән. Ал үшінші қасиеті тек трапецияны ғана сипаттайды.

Математикалық ұғымның мұндай қасиеті оның сипаттық (характеристикалық) қасиеті деп атайды.

Трапецияны былай да анықтауға болады: «Екі қабырғасы өзара параллель төртбұрыш қана трапеция болады». Тек екі қабырғасының параллельдігі мен төрт қабырғасы болу қасиеті трапеция ұғымын толық сипаттауға қажетті, ал оның қасиеттерінің жоғарыда келтірілген тізімі жеткілікті шарттар.

Сонымен бірге, белгілі бір ұғымды толық сипаттайтын қасиеттер берілген ұғымға тән қасиеттердің тізімінен әр алуан тәсілдермен іріктеліп алынады. Егер ұғым қасиеттерінің бір тобы оның анықтамасының негізін қаласа, енді бір тобы оның анықтамысының негізін қаласа, енді бір тобы теорема түрінде көрінеді. Ұғымның бар болуының жеткілікті шартын көрсететін теоремалар осы ұғымның белгі – теоремаларыдеп аталады, ал ұғымның бар болуының қажетті шартын көрсететін теоремалар осы ұғымның бар болуының қажетті шартын көрсететін теоремалар осы ұғымның қасиет – теоремалары деп аталады.

Қорыта келгенде, А анықтамасымен өрнектелген Ғ фигурасы (объектісі) орындалатындай, В қасиетіне ие болса, онда Вқасиеті Ғ фигурасының (объектісінің) сипаттық қасиеті болып табылады. Кез – келген математикалық математикалық объектінің сипаттық қасиетін осы объектінің анықтамасы ретінде қабылдауға болады.

Мысалы, «Тік бұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қосындысы тік бұрышқа тең» теоремасы тік бұрышты үшбұрыштың қайсыбір қасиетін ғана көрсетеді. Ал: « Егер үшбұрыштың екі ішкі бұрышының қосындысы үшінші бұрышына тең болса, онда ол үшбұрыш тік бұрышты үшбұрыш болады » теоремасы – тік бұрышты үшбұрышты толық анықтайтын қасиетін, яғни ондай үшбұрыштың бар болуын көрсететін белгі.

Қажетті және жеткілікті шарттар есеп шығару барысында да жиі кездеседі. Сондықтан бұл ұғымдарды оқушылардың жете мейгеруіне мұғалімнің баса назар аударғаны жөн.

Виет теоремасы.

ax²+bx+c=0 (a≠0) квадраттық теңдеуінің D=b²-4ac дискриминанты оң болғанда бұл теңдеудің екі

шешімі бар болатының квадраттық теңдеу сабағында айтылған.

Бұл формулалар теңдеудің шешімдерін теңдеудің коэфициенттері арқылы табуға мүмкіндік береді.

Кері жағдайда, яғни x₁ пен x₂ белгілі ал a,b,c белгісіз болғанда Виет теоремасын қолдана аламыз:

ax²+bx+c=0 теңдеуінің шешімдері x₁ пен x₂ болса онда мына формулалар орынды:

x₁· x₂=

x₁+x₂=

Мысалы x₁=1, x₁=3 ал теңдеуіміз белгісіз болсын, Виет теоремасы бойынша:

= x₁ · x₂=1·3=3

=x₁+x₂=1+3=4

ax²+bx+c=0 теңдеуінің x²+ x+ =0 теңдеуіне эквиваленттігін пайдалансақ онда біздің теңдеуіміз мына түрге келеді:

x²+ x+ =x²-4x+3

Яғни x²-4x+3=0.

Ескерту.

a=1 десек онда ax²+bx+c=0 теңдеуі x²+bx+c=0 теңдеуіне айналады және Виет теоремасы мынандай болады:

x₁·x₂=c

x₁+x₂=-b.

Жаттығулар.

a). x₁=3, x₂=4, a=2. ax²+bx+c=0-?                   b). x₁=2, x₂=5. x²+ax+b=0-?

Пифагор теоремасы. 

Пифагор теоремасы – геометрияның тік бұрышты үшбұрышты қабырғаларының арасындағы байланысты тұжырымдайтын теоремасы. Пифагор теоремасы қысқаша былай тұжырымдалады: тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттері квадратының қосындысына тең.

Пифагор теоремасы: Катеттерге (a және b) тұрғызылған квадраттар ауданы қосындысы гипотенузаға (c) тұрғызылған квадраттың ауданына тең.

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

Пифагор теоремасына кері теорема. Үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда үшбұрыш тік бұрышты болады.

Пифагор теогремасы - тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының арасындағы байланысты тұжырымдайтын геометрия теоремасы. Пифагор теогремасы Пифагорға дейін де белгілі болған, бірақ оны жалпы түрде дәлелдеген Пифагор. Алғашында теорема тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттеріне салынған квадраттар аудандарының қатынасын тұжырымдаған: гипотенузаға тұрғызылған квадрат ауданы катеттерге тұрғызылған квадраттар аудандарының қосындысына тең. Пифагор теогремасы қысқаша былай тұжырымдалады: тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттері квадраттарының қосындысына тең. Пифагор теогремасына төмендегідей кері теорема да дұрыс: егер үшбұрыштың бір қабырғасы ұзындығының квадраты қалған екі қабырғасы ұзындықтарының квадратына тең болса, онда ол үшбұрыш тік бұрышты болады.

Теореманың тарихы

Теоременың тарихы ежелгі Қытайдан бастау алады. Ондағы негізгі назар аудартатын математикалық кітап Чу – пей. Бұл шығармада қабырғалары 3,4,5 – ке тең пифагор үшбұрышы туралы айтылады.

Егер тік бұрышты құрайтын 3 – ке тең қабырға мен 4 – ке тең биіктіктің ұштарын қоссақ пайда болған түзу 5 – ке тең болады..

Кантор (ұлы неміс математика тарихын зерттеуші) бұл кітапта үнді Бхаскар геометриясындағы сызбанұсқаға ұқсас сурет бар, деп есептеген.

Бұл теңдік египтіктерге б .з.д. 2300 жылы Аменемхета I патшаның кезінде белгілі болған (Берлин музейіндегі 6619 - жазбалар бойынша).

Кантордың ойынша гарпедонаптар немесе «арқан тартушылар» тік бұрышты қабырғалары 3,4,5 – ке тең тікбұрышты үшбұрыштар арқылы тұрғызған. Олардың құрылу әдісін оңай көрсетуге болады. Ұзындығы 12 метрге тең арқанды алып,бір ұшынан 3 метр,екінші ұшынан 4 метр арақашықтықты өлшеп белгілейміз. Тік бұрыш 3 – ке және 4 – ке тең қабырғалар арасында болады. Қабырғалардың ұштарының арақашықтығы 5 – ке тең болады.

Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадраттың ауданы катеттеріне салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең...

Бұл Пифагор теоремасы деп аталатын ежелден белгілі геометриялық теорема. Гректің ұлы математигі , әрі философы Пифагор Самосский осыдан 2,5 мың жыл бұрын өмір сүрген. Пифагор Шығыс елдеріне, Египетке және Вавилонға көп саяхат жасаған.Оңтүстік Италияның грек колонияларының бірінде ежелгі Грецияның ғылыми және саяси өмірінде үлкен роль атқарған белгілі «Пифагор мектебінің» негізін салған. Бұл белгілі геометриялық теореманың дәлелдеуін Пифагор практикада қолдана білген.

Бірақ, бұл теореманы Пифагорға дейін 1500 жыл бұрын ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4 және 5 тең болатын үшбұрыш тікбұрышты болатынын білген және бұл қасиетті жер учаскелерін, құрылыс тұрғызу үшін қолданған. Сонымен қатар мың жылдықтар бұрын Египеттегі, Вавилондағы, Қытайдағы үлкен храмдар салу үшін де қолданған. Пифагордан 600 жыл бұрын қытайдың математика-астрономиялық «Чжоу-би» шығармасында тікбұрышты үшбұрышқа қатысты басқа да теоремалар арасында Пифагор теоремасы да бар. Бұдан да ертерек теорема үндістерге де белгілі болған.