Қосымша салулар арқылы дәлелдеу.

Бұл әдістің негізі тең шамалы фигуралар пайда болу үшін катеттерге салынған квадраттарға және гипотенузаға салынған квадратқа тең фигуралар салынады. қарапайым Пифагор фигурасы, яғни қабырғаларына квадрат салынған АВС тікбұрышты үшбұрышы бейнеленген. Бұл фигура алдыңғы тікбұрышты үшбұрышқа тең 1 және 2 үшбұрыштарымен толықтырылады.

Пифагор теоремасының дұрыстығы AEDFPB және ACBNMQ алтыбұрыштарының тең шамалы екендігінен шығады. Мұнда C EP, EP түзуі AEDFPB алтыбұрышын екі тең шамалы төртбұрыштарға, CM түзуі ACBNMQ алтыбұрышын екі тең шамалы төртбұрыштарға бөледі, А центрімен жазықтықты 90° бұрсақ АЕРВ төртбұрышы АСМQ төртбұрышына беттеседі.

Пифагор фигурасы қабырғалары катеттерге салынған квадраттар қабырғаларына параллель тіктөртбұрышқа толықтырылады.Бұл тіктөртбұрыш үшбұрыштар мен тіктөртбұрыштарға бөленеді. Пайда болған тіктөртбұрыштан 1,2,3,4,5,6,7,8,9 көпбұрыштарын алып тастаймыз, сонда гипотенузаға салынған квадрат қалады. Енді осы тіктөртбұрыштан 5,6,7 және штрихталған тіктөртбұрыштарды алып тастасақ, катеттерге салынған квадрат пайда болады. Енді бірінші жағдайда алып тасталған фигуралар мен екінші жағдайда алып тасталған фигуралар тең шамалы екендігін дәлелдейміз.

Нассириддин (1594 ж. ) дәлелдеуі көрсетілген. Мұнда: PCL – түзу;

KLOA = ACPF = ACED = a²; LGBO = CBMP = CBNQ = b²;

AKGB = AKLO + LGBO = c²; бұдан c² = a² + b².

Гофман (1821 ж.) дәлелдеуі. Мұнда : ABC -тік бұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш; BF кесіндісі CB кесіндісіне перпендикуляр және тең, BE кесіндісі AB кесіндісіне перпендикуляр және тең, AD кесіндісі AC -ға перпендикуляр және тең; F, C, D нүктелері бір түзудің бойында жатады; ADFB және ACBE төртбұрыштары теңшамалы, өйткені ABF=ECB; ADF және ACE үшбұрыштары тең шамалы; енді екі тең шамалы төртбұрыштан да екеуіне ортақ АВС үшбұрышын алып тастаймыз, сонда мына теңдікті аламыз:

Алгебралық әдіспен дәлелдеу.

Ұлы үнді математигі Бхаскаридің дәлелдеуі.

ABC – тік бұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш, CM AB, b₁ – гипотенузаға түсірілген b катетінің проекциясы, a₁ – гипотенузаға түсірілген а катетінің проекциясы, h – үшбұрыштың гипотенузаға түсірілген биіктігі.

ABC үшбұрышы мен ACM үшбұрышының ұқсастығынан

b² = cb₁; (1)

ABC , BCM үшбұрыштарының ұқсастығынан

a² = ca₁. (2) шығады. (1) және (2) теңдіктерін мүшелеп қоссақ,

a² + b² = cb₁ + ca₁ = c(b₁ + a₁) = c² теңдігін аламыз.

Мёльманн дәлелдеуі -1 әдісі.

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы -ға немесе -ға тең, мұнда p – үшбұрыштың жарты периметрі, r – үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы Осыдан:

c²=a²+b². теңдігі шығады.

Мёльманн дәлелдеуі-2 әдісі Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы :S=½*a*b немесе S=½(p*r) тең (кез-келген үшбұрыш үшін);

p - үшбұрыштың жарты периметрі ; r – Іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r = ½*(a + b - c) – кез-келген үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы.

½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c);

a*b = (a + b + c)*½(a + b - c);

a + b=x;

a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x²- c²)

a*b = ½(a² + 2*a*b + b² - c²)

a² + b² - c² = 0, сондықтан

a² + b² = c²

2. Оқушыларды дәлелдеуге үйрету әдістемесі

Адамзат өзінің өмір тәжірибесінде айналадағы қоршаған дүние туралы бір – бірімен пікір алмасады және көрген – білгендерін басқаларға айтып хабарлап отырады. Әңгімелесу, пікір алысу немсе пікірталас кезінде қандай да бір өндірістік, ғылыми немесе күнделікті тұрмыстық мәселелер болсын, бәрібір әрбір адам өзінің көзқарасын, ойын басқаларға сенімді түрде жеткізуге тырысады.

Әрбір адам дәлелді негіздер келтіре отырып, өз ойының дұрыстығын немесе басқа бәреулердің ойымен келіспейтін болса, оған қарсы дау айтып дұрыс еместігін көрсетіп жатады. Басқаша айтқанда, бір – бірімен пікір алмасу кезінде адамдар өздерінің түсініктерін, пайымдарын және ұғымдарының дұрыстығын негіздеп, дәлелдеп отырады. Адамдар айтатын ойын, пікірін негіздей білу және шүбәсіз делел келтіре алуы ойлаудың ең маңызды қасиеті болып табылады.

Бабамыз ұлы ғалым әл – Фараби (870-950) Аристотельдің шығармаларына берген түсініктемесінде дәлелдеуді логиканың негізі деп атап көрсеткен екен.

Адамдардың ойлау процесінде бір нәрсені негіздеуі немесе дәлелдеуі үшін алғашқы арқа сүйер тиянақтаулары болуы шарт. Ондай тиянақтаулары адамдардың күнделікті тәжірибесінде мыңдаған жылдар бойы жинақталған, дұрыстығын ешқандай күмәнсіз дәлелденген нәрселер (пайымдар, ұғымдар т.б.) болуы мүмкін. Дәлелдеулердің тиянақтаулары әр түрлі ғылымдарға түрліше. Математикада ондай тиянақтауларға аксиомалар жатады.

Әр түрлі ғылымдардағы дәлелдеу де түрліше жүргізіледі. Әрбір ғылымдағы негіздейтін ойдың мазмұны да түрлі – түрлі. Дәлелдеулердің барлығына ортақ және бірдей, оның нақтылы мазмұнына тәуелсіз жалпы ережелерін логика қорытынды шығару туралы ғылым, яғни бұрыннан белгілі және тексерілген білімдер негізінде, ешқандай тәжірибеге сүйенбестен тек ойлау заңдары мен ережелеріне сүйеніп жаңа білімдер алу жолы.

Формальды логика мен математикалық дәлелдеу арасында құсастық бар. Математикалық дәлелдеулерге эмпирикалық жолмен дұрыстығын көрсетуді қолданцға болмайды. Академик Ә. Нысанбаев атап көрсеткендей: «Математиканың жаратылыстанудан басты айырмашылығы, оның логикалық, дедуктивтік сипатына. Дәлелдеу математикалық әдістің жүрегі болып табылады».

Кез келген дәлелдеу үш құрамды бөліктерден тұрады: тезис, дәлел және демонстрациялау. Дәлел тезисі деп дәлелдеуді қажет ететін пайымды айтады. Дәлел (негіздеме, аргумент) – тезистің ақиқаттығын немесе жалғандығын немесе дәлелденген пайым. Демонстрациялау – дәлелдеудің негізінде тезистің дұрыстығы (немесе жалғандығы) туралы қорытынды шығарылатын логикалық пайымдау. Басқаша айтқанда демонстрациялау деп дәлелдеу кезінде қолданылатын логикалық заңдар мен логикалық ой қорыту ережелерінің жиынтығын айтады. Ол заңдар мен ережелер дәлел арқылы тезистің негізделіп отырғандығына сендіретін ойдың өзара байланысқан тізбегін құруды қамтамасыз етеді.

Дәлелдеулер ережелеріне аргументтің дұрыстығынан тезистің дұрыстығы жөнінде қорытынды шығару ережелерін жатқызады.

Дәлелдеу ережелері логикалық:

1. Теңбе – теңдік (әрбір ой қорытулар кезінде қайталанғанымен өзінің тұрақты мағынасынан сақталу керек);

2. Қарама – қайшылық (қарама – қарсы екі ой бір мезгілде ақиқат болуы мүмкін емес);

3. Үшіншінің болмауы (қарама – қарсы екі пікірдің бірі міндетті түрде ақиқат болады);

4. Жеткілікті негіздеу (ақиқат пікір басқа бұрын дәлелденген ақиқат пікір арқылы негізделуі керек) заңдарына сүйенеді.

Дәлелдеу ережелеріне жататындар:

1. Тезис және дәлел (аргумент) анық және дәл анықталған пайым болуы керек;

2. Тезис бүкіл дәлелдеу барысында өзгеріссіз қалпын сақтайды;

3. Тезисте логикалық қарама – қайшылықтың болмауы;

4. Дәлелденуге тиісті тезис, бұрын бұл мәселе жөнінде айтылған пайымдармен қайшылықта болмауы тиіс);

5. Тезистің дұрыстығын негіздейтін дәлелдер бір – бірімен қарама – қайшылықсыз болуы қажет;

6. Тезис пен аргументтерде негізделген деректер болуы тиіс;

7. Аргумент тезиске тәуелсіз өз алдына дәлелденген пайым болады.

Оқушыларды дәлелдеуге үйретудің маңызды бөлімі – дәлелдеу процесін жүргізу. Оқушылардың дәлелдей білу дағдыларын қалыптастыру, олардың сенімділігін қалыптастырудың да маңызды жолы болып табылады. Сондықтан оқушыларды дәлелдеудің әр түрлі әдіс – тәсілдерімен таныстарудың да маңзды ерекше.

Мектеп математика курсында «дәлелдеуге үйрету» мәселесіне әдіскерлер мен мұғалімдер арасында біржақты көзқарас қалыптаспаған. Мектеп математикасыгда кез келген теореманы дәлелдеудің мақсаты – айтылған ұйғарымның ақиқаттығын тағайындау және дәлелденетін теореманың бұрын дәлелденген теоремалармен байланыын анықтау.

Теореманы дәлелдеу логика заңдарына негізделеді. Алайда теореманы дәлелдеудің әмбебап тәсілдері жоқ.

Дегенмен теореманы дәлелдеу үш құрамдас бөліктен тұрады:

1. Тезис – дәлелденетін қағида;

2. Дәлел аргументі – ақиқаттығы бұрын дәлелденген немесе тексерілген және тезистің ақиқаттығы иә жалғандығы негізделетін пікір;

3. Дәлелдеу тәсілі немесе демонстрация – дәлелден тезистің ақиқаттығын түйіндейтін огикалық талқылау.

Басқаша айтқанда, демонстрацияны дәлелдеу кезінде пайдаланатын логикалық ережелердің тобы ретінде түсіну керек.

Іске асыру тәсілдеріне қарай тәсілдеріне қарай дәлелдеулер тура және жанама болып іске бөлінеді.

Тура дәлелдеу деп дәлелдерден, аргументтерден тезистің ақиқаттығы тікелей шығатын дәлелдеулерді айтады. Тура дәлелдеу синтетикалық және аналитикалық болып екіге бөлінеді.

Енді бір мысалды қарастырайық:

Теорема: Әр түрлі екі оң санның арифметикалық ортасы олардың геометриялық ортасынан артық.

Шарты.

Дәлелдеу керегі.

Дәлелдеуі. Теореманың шартынан:

немесе

бұдан

немесе

бұдан

немесе

Демек,

Дәлелдеу керегі осы еді.

Ойлау процесінде бір нәрсені негіздеуі немесе дәлелдеуі үшін алғашқы арқа сүйер тиянақтаулары болуы шарт. Ондай тиянақтаулары адамдардың күнделікті тәжірибесінде мыңдаған жылдар бойы жинақталған, дұрыстығын ешқандай күмәнсіз дәлелденген нәрселер (пайымдар, ұғымдар т.б.) болуы мүмкін.

Дәлелдеулердің тиянақтаулары әр түрлі ғылымдарға түрліше. Математикада ондай тиянақтауларға аксиомалар жатады. Әр түрлі ғылымдардағы дәлелдеу де түрліше жүргізіледі. Әрбір ғылымдағы негіздейтін ойдың мазмұны да түрлі – түрлі.

Дәлелдеулердің барлығына ортақ және бірдей, оның нақтылы мазмұнына тәуелсіз жалпы ережелерін логика қорытынды шығару туралы ғылым, яғни бұрыннан белгілі және тексерілген білімдер негізінде, ешқандай тәжірибеге сүйенбестен тек ойлау заңдары мен ережелеріне сүйеніп жаңа білімдер алу жолы.

Формальды логика мен математикалық дәлелдеу арасында құсастық бар. Математикалық дәлелдеулерге эмпирикалық жолмен дұрыстығын көрсетуді қолданцға болмайды.