Вопросы для проверки уровня обученности «уметь»
1 курс
Построение остовного дерева минимальной длины. Алгоритм Краскала построения минимального дерева.
Булевы функции. Существенные и фиктивные переменные. Логические отношения. Проверка правильности рассуждений.
Предмет логики высказываний. Логические операции над высказываниями. Понятие формулы алгебры высказываний. Равносильность и классификация формул. Логические эквивалентности.
Элементы комбинаторики. Конечные множества и операции над ними. Подмножества данного множества. Число подмножеств данного множества (сочетания). Упорядоченные множества. Перестановки и размещения. Бином Ньютона и полиномиальная формула.
Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.
Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
Замена переменных в кратных интегралах: переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим.
Кратные интегралы: задачи, приводящие к ним. Двойные и тройные интегралы; их свойства, вычисление в декартовых координатах.
Производная по направлению и градиент; их связь. Геометрический и физический смысл градиента.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
Несобственные интегралы I и II рода.
Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой.
Монотонные функции. Теоремы о возрастании и убывании функции на интервале.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.
Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
Формулировка основной теоремы алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
Понятие множества. Операции над множествами. Декартово (прямое) произведение множеств. Алгебра множеств.
Решение произвольных систем линейных уравнений методом Гаусса. Процедура нахождения обратной матрицы методом Гаусса.
Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.
Понятие матрицы. Действия над матрицами: умножение матриц на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
Цилиндрические и сферические координаты, их связь с декартовыми координатами.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
2 Курс
Понятие об уравнениях в частных производных. Решение линейных уравнений первого порядка в частных производных.
Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера и методом разделения переменных.
Уравнение теплопроводности. Метод Фурье решения задачи Коши.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная форма их записи. Задача Коши. Метод исключения.
Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Система фундаментальных решений. Общее решение. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия и определения ). Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об общем, частном и особом решениях дифференциальных уравнений.
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям: вычисление значений функций, вычисление пределов, вычисление определенных интегралов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия со сходящимися рядами.
Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.
Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Дифференцируемость элементарных функций.
Ряды Фурье для функций с произвольным переходом. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
Оператор Гамильтона. Запись градиента, дивергенции и ротора векторного поля с помощью оператора Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие об уравнении Лапласа и гармонической функции.
Потенциальное поле, условия потенциальности. Определение потенциала векторного поля.
Ротор векторного поля, его свойства и физический смысл. Вычисление ротора в декартовых координатах.
Циркуляция векторного поля. Формула Стокса.
Операционный метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и их систем.
Скалярное и векторное поля. Физические примеры. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.
Система двух случайных величин. Условные законы распределения. Условные математические ожидания.
Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность отклонения от математического ожидания. Правило «трех сигм».
Закон распределения вероятностей (плотность вероятностей) непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины, их вычисление и свойства.
Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. Процесс гибели и размножения.
Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Предельные теоремы Муавра–Лапласа и Пуассона.
Генеральная и выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.
Генеральная и выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
Уравнение линейной регрессии. Нахождение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.
Оценка тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения.
Элементы корреляционного анализа. Выборочный коэффициент корреляции; его интервальные оценки. Основные свойства регрессии.
Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения.
Метод наибольшего правдоподобия. Функция правдоподобия. Оценка наибольшего правдоподобия. Уравнение правдоподобия.
Линейное программирование: предмет линейного программирования, геометрическая интерпретация задачи линейного программирования, графический метод её решения.
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы критическая область.
Транспортная задача, математическая модель закрытой транспортной задачи, существование оптимального плана, условия оптимальности плана, открытые транспортные задачи. Методы северо–западного угла, наименьшей стоимости, потенциалов.
Выбор степени точности решения. Применение ЭВМ.
Методы построения и исследования решений.
Элементы теории стратегических матричных игр. Принятие решений в условиях неопределенности и риска.
Дискретные задачи транспортного типа. Транспортная задача на сети с ограниченной пропускной способностью.
Задача с конечными связями. Задача с дифференциальными связями. Связь вариационных задач с дифференциальными уравнениями.
Вариационные задачи на условный экстремум.
Позиционная дифференциальная игра. Цена игры. Седловая точка. Закон управления.
Оптимальная минимаксная стратегия. Оптимальный гарантированный результат.
Модели законов распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике статистических исследований.
Вопросы для проверки уровня обученности «ВЛАДЕТЬ»
1 курс
Исследовать функцию на монотонность
.Найти определенный интеграл
Вычислить
Вычислить
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Вычислить
Найти определенный интеграл
Найти определенный интеграл
Исследовать функцию на монотонность
Найти неопределенный интеграл
.
Является ли бинарное отношение
,
заданное на множестве действительных
чисел отношением эквивалентности?Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;–2;3) и параллельно плоскости 3х–4у+5z+6=0.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Докажите равенство
.Найти определенный интеграл
Найти неопределенный интеграл
Исследовать функцию монотонность
Найти: grad u в точке М0, производную в точке М0 по направлению вектора
,
наибольшую крутизну поверхности
в
точке М0, если M0
(1; –2; 1) ;
(–1;
2; 2) .Вычислить
.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;–2;3) и точку
и параллельной оси Оу.Вычислить предел
Вычислить предел
.Вычислить интеграл
Найти обратную матрицу
,
если
.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Найти неопределенный интеграл
Найти графическим и аналитическим методами оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей
.Исследовать на сходимость ряд
.Решить уравнение
Исследовать на сходимость ряд
.Исследовать ряд на сходимость
.Решить уравнение
Решить уравнение
Решить уравнение
Решить уравнение
2 курс
Дана функция плотности распределения случайной величины X. Определить a и F(x), если
В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара?
Решить уравнение
.Решить уравнение
.В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка?
Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй – 140 изделий, причем вероятности того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.
Решить уравнение
Исследовать сходимость ряда
Исследовать сходимость ряда
.Исследовать сходимость ряда
Найти графическим и аналитическим методами оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей
Исследовать сходимость ряда
.Найти графическим и аналитическим методами оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей
.АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в секунду. Определить характеристики АТС как объекта СМО.
Для двух предприятий выделено
единиц средств. Как распределить все
средства в течение 4 лет так, чтобы доход
был наибольшим, если известно, что доход
от 
единиц средств, вложенных в первое
предприятие, равен 
, а доход от 
единиц средств, вложенных во второе
предприятие, равен 
. Остаток средств к концу года составляет
для предприятий 
и 
соответственно.Решить графическим или симплексным методом задачу линейного программирования.
Найти графическим и аналитическим методами оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей
.Решить графическим методом задачу выпуклого программирования
Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Определить среднюю длину очереди на обслуживание, считая ее неограниченной.
Найти графическим и аналитическим методами оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей
Найти оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей
Решить уравнение
