4. Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье
Приведем достаточный признак сходимости ряда Фурье, т. е. сформулируем условия на заданную функцию, при выполнении которых построенный по ней ряд Фурье сходится, и выясним, как при этом ведет себя сумма этого ряда. Важно подчеркнуть, что хотя приведенный ниже класс кусочно-монотонных функций и является достаточно широким, функции, ряд Фурье для которых сходится, им не исчерпываются.
рИС.1
Функция
называется кусочно-монотонной
на отрезке
,
если этот отрезок можно разбить конечным
числом точек
на интервалы
на каждом из которых
монотонна, т.е. либо не убывает, либо не
возрастает (см. рис.1).
Примеры
Функция
является
кусочно-монотонной на интервале
,
так как этот интервал можно разбить на
два интервала
,
на первом из которых она убывает (и
значит, не возрастает), а на втором
возрастает (и значит, не убывает).Функция кусочно-монотонна на отрезке , так как этот отрезок можно разбить на два интервала
Теорема №3
Функция , кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , может иметь на нем только точки разрыва первого рода.
Доказательство
рИС.2
Пусть,
например,
точка
разрыва функции
Тогда в силу ограниченности функции
и монотонности по обе стороны от точки
с
существуют конечные односторонние
пределы
Это означает, что точка c есть точка разрыва первого рода (рис.2). Что и требовалось доказать.
Теорема №4
Если периодическая функция с периодом 2π кусочно-монотонна и ограничена на отрезке , то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x этого отрезка, причем для суммы
Этого ряда выполняются равенства:
Примеры
3.
Функция
периода
,
определенная на интервале
равенством
,
удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому
её можно разложить в ряд Фурье. Находим
для неё коэффициенты Фурье:
Ряд Фурье для такой функции имеет вид
4.
Разложить функцию
в ряд Фурье на интервале
.
Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 4. Найдем коэффициенты Фурье, используя свойство аддитивности определенного интеграла.
Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид:
На
концах отрезка
,
т.е. в точках
,
которые являются точками разрыва первого
рода, будем иметь
.
Замечание.
Если
в найденном ряде Фурье положить
,
то получим
5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Функция
,
определенная на отрезке
,
называется четной,
если
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция , определенная на отрезке , называется нечетной, если
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры
Функция является четной на отрезке , так как
для всех
Функция является нечетной на отрезке , так как
для всех
Функция
,
не принадлежит ни к четным, ни к нечетным
функциям, так как
.
Пусть функция , удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке . Тогда
т.е.
является четной функцией, а
- нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье
четной функции
будут равны
Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид
Если
нечетная функция на отрезке
,
то произведение
будет нечетной функцией, а произведение
четной функцией. Поэтому будем иметь
Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид
