Примеры

1.

2.

3.

Система функций называется ортогональной на интервале с весом , если:

1. Для всех существуют интегралы

2.

Здесь предполагается, что весовая функция определена и положительна всюду на интервале за возможным исключением конечного числа точек, где может обращаться в нуль.

Примеры

4.

5.

9 (4) .2. Ряд Фурье по ортогональной системе

Пусть ортогональная система функций в интервале и пусть ряд

сходится на этом интервале к функции :

У

(5)

множая обе части последнего равенства на фиксировано) и интегрируя по x от a до b, в силу ортогональности системы получим, что

или

Э

(6)

та операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции непрерывны и интервал конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция . Образуем числа по формуле (5) и напишем

Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции относительно системы . Числа называются коэффициентами Фурье функции по этой системе. Знак в формуле (6) означает лишь, что числа связаны с функцией формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции ). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию ?

9.3. Сходимость в среднем

Последовательность , сходится к элементу в среднем, если

или, что то же, норма в пространстве .

Теорема №6

Если последовательность сходится равномерно, то она сходится и в среднем.

Доказательство

Пусть последовательность сходится равномерно на отрезке к функции . Это означает, что для всякого при всех достаточно больших n имеем

Следовательно,

откуда вытекает наше утверждение. Что и требовалось доказать.

Обратное утверждение неверно: последовательность может сходиться в среднем к , но не быть равномерно сходящейся.

Пример

Рассмотрим последовательность….

9.4. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля

Пусть ортонормированная система функций на отрезке

и пусть Обозначим через коэффициенты Фурье функции по ортонормированной системе :

Рассмотрим линейную комбинацию

г

(*)

де фиксированное целое число, и найдем значения постоянных при которых интеграл

принимает минимальное значение. Запишем его подробнее

И

(7)

нтегрируя почленно, в силу ортонормированности системы получим

Первые два слагаемых в первой части равенства (7) не зависят от , а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при . Интеграл

н

(8)

азывают средним квадратичным приближением функции линейной комбинацией . Таким образом , среднее квадратичное приближение функции принимает минимальное значение, когда , т.е. когда есть -я частичная сумма ряда Фурье функции по системе : . Полагая , из (7) получаем

и

(9)

ли

Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя

П

(10)

оскольку здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме

т.е. для всякой функции ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе сходится.

Так как система

о

(11)

ртонормирована на отрезке то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение

справедливое для любой функции с интегрируемым квадратом.

Если интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что .