3. Задание 24 № 340879

3. Окружность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC , ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 49°, 69° и 62°.

Решение.

Пусть

∠BAC = α , ∠ABC = β , ∠ACB = γ;

∠PKM = 49°, ∠MPK = 69°, ∠KMP = 62°.

 

По свой­ству ка­са­тель­ных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Значит, тре­уголь­ни­ки AMP, BMK и CPK равнобедренные, от­ку­да получаем:

 

 

Значит, Ана­ло­гич­но получаем, что и

Решая си­сте­му от­но­си­тель­но α , β и γ , получаем, что углы тре­уголь­ни­ка ABC равны 82°, 42°, 56°.

 

Ответ: 82°, 42°, 56°.

Критерии проверки:

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.11.2014 ва­ри­ант МА90202.

4. Задание 24 № 339492

4. Окружность пе­ре­се­ка­ет стороны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AK = 18, а сто­ро­на AC в 1,2 раза боль­ше стороны BC.