6. Задание 24 № 311671

6. Прямая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям и тра­пе­ции , про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны и в точ­ках и соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка , если см, см.

Решение.

1) по двум углам:

а) как вертикальные;

б) как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при и се­ку­щей .

 

 

 

2) по двум углам:

а) — общий;

б) как со­от­вет­ствен­ные при и се­ку­щей .

 

 

см.

3) Ана­ло­гич­но см.

4) см.

Ответ: 30 см.

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)

7. Задание 24 № 311666

7. Диагонали и тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­ща­ди треугольников и равны со­от­вет­ствен­но и . Най­ди­те площадь трапеции.

Решение.

По усло­вию , по­это­му и яв­ля­ют­ся не бо­ко­вы­ми сторонами, а ос­но­ва­ни­я­ми трапеции. Тогда тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам, а от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно квад­ра­ту коэффициента по­до­бия . По­это­му . По­сколь­ку треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вер­ши­ны , от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию их оснований, т. е. . Значит, .

Площади тре­уголь­ни­ков и равны, так как эти тре­уголь­ни­ки имеют общее ос­но­ва­ние и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как вы­со­ты трапеции, сле­до­ва­тель­но

.

 

Поэтому и .

Ответ: .

Критерии проверки:

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №2.(4 вар)

8. Задание 24 № 182

8. В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 2. Най­ди­те пло­щадь трапеции.

Решение.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на боль­шее ос­но­ва­ния AD. По усло­вию тогда Катет, ле­жа­щий на­про­тив в угла в равен по­ло­ви­не гипотенузы, тогда Так как по условию, а HK=x, то Тре­уголь­ни­ки ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, тра­пе­ция ABCD- равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH= . Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на высоту, имеем:

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.

9. Задание 24 № 311711

9. В вы­пук­лом четырёхугольнике длина отрезка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны сто­рон и , равна од­но­му метру. Пря­мые и перпендикулярны. Най­ди­те длину отрезка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны диа­го­на­лей и .

Решение.

Пусть точка — се­ре­ди­на , точка — се­ре­ди­на , точка — се­ре­ди­на диа­го­на­ли , точка — се­ре­ди­на диа­го­на­ли . Тогда — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и . Ана­ло­гич­но получаем: — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и ; — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и ; — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и . От­сю­да заключаем, что в четырёхугольнике сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны и по­пар­но равны, по­это­му — параллелограмм. А так как па­рал­лель­но па­рал­лель­но , а пер­пен­ди­ку­ляр­но , то и пер­пен­ди­ку­ляр­но . По­это­му — прямоугольник. А так как диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны, то метру.

Ответ: 1 метр.

 

Приведём решение методом координат.

Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:

Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: Определим длину отрезка MN через координаты его концов:

Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем:

Тема самым, что Следовательно, искомая длина равна 1 метру.

Критерии проверки:

Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 2.