2. Постановка задачи и алгоритм ее решения

Рассмотрим процесс математического моделирования с последующим определением продолжительности горячего склеивания шпона в производстве фанеры.

Процесс отверждения карбамидоформальдегидного клея при постоянной температуре описывается выражением:

, (1.1)

где - продолжительность отверждения клея, с, при температуре ,⁰С;

- продолжительность отверждения клея при температуре ,⁰С;

- некоторый постоянный коэффициент кривой отверждения;

- основание натурального логарифма.

На рис.1 приведена типовая кривая отверждения карбамидоформальдегидного клея, построенная по уравнению типа (1.1).

Процесс отверждения клея в условиях воздействия переменных температур описывается выражением:

, (1.2)

где , , - параметры кривой отверждения;

- время, с;

- закон изменения температуры клеевого слоя (температура в

функции времени).

Последнее необходимо прокомментировать. Дело в том, что горячее склеивание шпона осуществляется в клеильном прессе, при температуре плит 105-150 ⁰С в зависимости от толщины и слойности склеиваемых пакетов.

Причем, пакет, загруженный в пресс, имеет температуру близкую к комнатной, т.е. около 20 ⁰С. В процессе склеивания его температура возрастает, причем с различной интенсивностью для различных клеевых слоев. Очевидно, что с наименьшей скоростью осуществляется нагрев клеевых слоев, наиболее удаленных от плит пресса, поэтому процессы, связанные с отверждением клея протекает в этих слоях также наиболее медленно. В этой связи, при определении продолжительности склеивания принято ориентироваться на эти клеевые слои.

Выражение (1.2) представляет собой интеграл с переменным верхним пределом. Процесс склеивания считается завершенным, когда:

, (1.3)

при этом:

(1.4)

Выражение (1.2) относительно аналитически разрешено быть не может, однако, его можно численно проинтегрировать, используя, например, метод трапеций (рис. 1.2).

Введем обозначения:

, (1.5)

Значение интеграла при составляет:

, (1.6)

При любом значении времени :

, (1.7)

Вычислительный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполняться:

, (1.8)

При этом продолжительность склеивания составляет:

. (1.9)

Однако, для решения задачи аналитического определения продолжительности склеивания, необходимо иметь аналитическое описание кривой прогрева клеевого слоя, наиболее удаленного от плит пресса.

Процесс прогрева пакета при склеивании описывается одномерным уравнением теплопроводности:

, (1.10)

где: t – температура, ºС;

x – координата в направлении потока тепла, м;

– коэффициент температуропроводности, м²/час;

- время, час.

Введем начальные и граничные условия, считая, что:

t_п - температура плит пресса, ºС;

t_н - начальная температура пакета, ºС;

t – текущая температура а заданной точке сечения пакета, ºС.

Тогда: при , ;

при , ;

при , ;

при. , .

Решив уравнение (1.10) при данных начальных условий, получим:

. (1.11)

Выражение (1.11) представляется весьма сложным для практического применения, но значительно упрощается после замены бесконечной суммы тремя первыми членами. Ошибка вычислений при этом пренебрежимо мала.