3. Примеры расчета
Пример 1. Определить закон распределения времени наработки на отказ изделия и выполнить оценку надежности изделия после отработки ресурса.
Дано: время наблюдения ta=1000 часов;
ресурс изделия составляет tр = 1500 часов;
число изделий N=383;
число неисправных изделий n=16;
время наработки до отказов отдельных экземпляров ti: 50, 70, 150, 220, 250, 400, 480, 500, 590, 640, 660, 790, 880, 910, 940, 980 часов.
Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:
k = 1 +3,3*lg16=4,97.
Число разрядов принимаем равным 5 c величиной ti=200 ч.
Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения fi*(t), i*(t) и Pi*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 1).
Таблица 1
Расчет эмпирических характеристик
№ инт. |
ti-1, час |
ti, час |
ti, час |
ni |
fi*=ni/Nti, 1/час |
i*=ni/Nиiti, 1/час |
Pi*=fi*(t)/i*(t) |
1 |
0 |
200 |
200 |
3 |
3.915*10-5 |
3.915*10-5 |
1.0 |
2 |
200 |
400 |
200 |
2 |
2.61*10-5 |
2.63*10-5 |
0.9922 |
3 |
400 |
600 |
200 |
4 |
5.22*10-5 |
5.28*10-5 |
0.9886 |
4 |
600 |
800 |
200 |
3 |
3.915*10-5 |
4.02*10-5 |
0.9739 |
5 |
800 |
1000 |
200 |
4 |
5.22*10-5 |
5.40*10-5 |
0.9667 |
Следует помнить, что Nиi - это разность между числом объектов N, над которыми велось наблюдение, и числом объектов, отказавших на начало интервала i. Например, для четвертого интервала Nи4=383-3-2-4=374.
Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 1 строятся гистограммы эмпирического распределения (рис. 2).
а) б)
в)
Рис. 2. Гистограммы эмпирического распределения:
а) плотность распределения; б) интенсивность отказов;
в) вероятность безотказной работы
Примем, что наблюдаемое изделие является сложным объектом, состоящим из множества элементов, вероятность отказов которых достаточно мала. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что его отказы распределены по экспоненциальному закону. Этому предположению не противоречит и внешний вид гистограмм.
Определение параметров закона распределения. Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти один параметр - интенсивность отказов . В настоящем примере параметр можно вычислить с использованием метода максимума правдоподобия по выражению (3)
Отсюда среднее время наработки до отказа Тср=1/=1/4,088*10-5=24460 ч.
Проверка правильности принятой гипотезы осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению (10). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от ta до +. Результаты расчетов представлены в таблице 2
Таблица 2