Задание 6

Даны координаты вершин треугольника ABC: , , .

Требуется: 1) в декартовой прямоугольной системе координат построить треугольник ABC; 2) написать каноническое и общее уравнения прямой AB, найти её угловой коэффициент; 3) написать каноническое и общее уравнения прямой AС, найти её угловой коэффициент; 4) найти внутренний угол A в градусах; 5) написать общее уравнение высоты CD и найти её длину, не используя координаты точки D; 6) написать общее уравнение медианы CE; 7) найти координаты точки пересечения высот треугольника ABC. На чертеже построить высоту CD, медиану CE и указать точку пересечения высот треугольника.

Решение: 1. В декартовой прямоугольной системе координат построим треугольник ABC (рис.2):

Рис. 2

2. Чтобы составить уравнение прямой AB воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и , которое имеет вид .

Следовательно, для прямой имеем _{или  получили каноническое уравнение прямой АВ.}

_{Преобразуем каноническое уравнение прямой АВ:} – общее уравнение прямой .

Для нахождения углового коэффициента прямой перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом . Имеем: , то есть – угловой коэффициент прямой .

3. Уравнения прямой _{составим} аналогично п.2. Имеем  каноническое уравнение прямой АС. Преобразуем каноническое уравнение: – общее уравнение прямой .

Перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом, получим , значит – угловой коэффициент прямой .

4.  Учитывая, что угол острый, воспользуемся формулой .

Имеем , откуда

5.  Для нахождения уравнения высоты _CD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом : .

В данном случае ; (координаты точки _C). Так как прямые _СD и АВ перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением , откуда . Значит, уравнение высоты _СD будет иметь вид: или .

Для нахождения длины высоты CD воспользуемся формулой расстояния от заданной точки до прямой : .

В данном случае ; (координаты точки _C); ; ; (коэффициенты из общего уравнения прямой _АВ). Следовательно, .

6. Уравнение медианы _СЕ составим, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как _СЕ – медиана, то координаты точки найдем как координаты середины отрезка _АВ: ; , то есть . Тогда уравнение медианы _СЕ будет иметь вид: или .

7. Для нахождения координат точки пересечения высот треугольника найдем уравнение высоты _{ВК (аналогично п.5)}.

Уравнение высоты _ВК находим по формуле . По условию , . Так как прямые _ВК и _АС перпендикулярны, то ; . Значит, уравнение высоты _ВК будет иметь вид или .

Составляем и решаем систему уравнений:

Значит, .

Нанесем на чертеж высоту CD, медиану CE и укажем точку М пересечения высот треугольника (рис. 3).