§ 12. Обратная функция

Пусть – некоторая функция, и- ее область определения и область значений соответственно. Если любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, то есть из,, то, как известно из § 8, отображениеf, определяемое этой функцией, обратимо, и для него существует обратное отображениемножествана множество . Это отображение называетсяобратнойфункцией к функции, то есть обратная функциятакова, что. Функцияи обратная для нее функцияназываютсявзаимно-обратными функциями. Заметим, что, а графики взаимно-обратных функцийисимметричны относительно прямой– биссектрисы первого и третьего координатных углов. Обратная функция всегда существует для строго монотонной функции, которая каждое свое значение принимает только один раз.

Чтобы найти аналитическое выражение для функции , обратной к функции, нужно решить уравнениеотносительнох, и если при этом получается несколько значенийх, то выбрать те значения, которые принадлежат . Таким образом получают равенство, в котором обычно заменяюту нах их нау.

Обратные функции для функций нужно рассмотреть на практических занятиях.

З

функцию. Найдем ее. Имеем т.е.Отметим, что каждое свое

аметим, что условие строгой монотонности функции является достаточным, но не необходимым условием существования обратной функции. Пусть, например,Эта функция не монотонна на, однако имеет обратную

значение функция принимает только один раз (такие функции называютсяинъективными).